Analysis Beispiele

$\cos (x) + \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x)$

Schritt 1

Schreibe $\cos (x) + \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x)$ als Funktion.

$f (x) = \cos (x) + \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \cos (x) + \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x) d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \cos (x) d x + \int \csc^{2} (x) d x + \int \csc (x) \cot (x) d x$

Schritt 5

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$\sin (x) + C + \int \csc^{2} (x) d x + \int \csc (x) \cot (x) d x$

Schritt 6

Da die Ableitung von $- \cot (x)$ gleich $\csc^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\csc^{2} (x)$ gleich $- \cot (x)$ .

$\sin (x) + C - \cot (x) + C + \int \csc (x) \cot (x) d x$

Schritt 7

Da die Ableitung von $- \csc (x)$ gleich $\csc (x) \cot (x)$ ist, ist das Integral von $\csc (x) \cot (x)$ gleich $- \csc (x)$ .

$\sin (x) + C - \cot (x) + C - \csc (x) + C$

Schritt 8

Vereinfache.

$\sin (x) - \cot (x) - \csc (x) + C$

Schritt 9

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \cos (x) + \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x)$ .

$F (x) =$ $\sin (x) - \cot (x) - \csc (x) + C$