Analysis Beispiele

$(4 - x) x^{- 3}$

Schritt 1

Schreibe $(4 - x) x^{- 3}$ als Funktion.

$f (x) = (4 - x) x^{- 3}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int (4 - x) x^{- 3} d x$

Schritt 4

Multipliziere $(4 - x) x^{- 3}$ .

$\int 4 x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} d x$

Schritt 5

Multipliziere $x$ mit $x^{- 3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1

Bewege $x^{- 3}$ .

$\int 4 x^{- 3} - (x^{- 3} x) d x$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $x^{- 3}$ mit $x$ .

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Schritt 5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 4 x^{- 3} - (x^{- 3} x^{1}) d x$

Schritt 5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 4 x^{- 3} - x^{- 3 + 1} d x$

Schritt 5.3

Addiere $- 3$ und $1$ .

$\int 4 x^{- 3} - x^{- 2} d x$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 4 x^{- 3} d x + \int - x^{- 2} d x$

Schritt 7

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int x^{- 3} d x + \int - x^{- 2} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - x^{- 2} d x$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - x^{- 2} d x$

Schritt 9.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - x^{- 2} d x$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int x^{- 2} d x$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache.

$\frac{- 2}{x^{2}} - - x^{- 1} + C$

Schritt 12.2

Vereinfache.

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Schritt 12.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x^{2}} - - x^{- 1} + C$

Schritt 12.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{2}{x^{2}} + 1 x^{- 1} + C$

Schritt 12.2.3

Mutltipliziere $x^{- 1}$ mit $1$ .

$- \frac{2}{x^{2}} + x^{- 1} + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = (4 - x) x^{- 3}$ .

$F (x) =$ $- \frac{2}{x^{2}} + x^{- 1} + C$