Analysis Beispiele

$x^{3} \cos (x)$

Schritt 1

Schreibe $x^{3} \cos (x)$ als Funktion.

$f (x) = x^{3} \cos (x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x^{3} \cos (x) d x$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{3}$ und $d v = \cos (x)$ .

$x^{3} \sin (x) - \int \sin (x) (3 x^{2}) d x$

Schritt 5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$x^{3} \sin (x) - (3 \int \sin (x) (x^{2}) d x)$

Schritt 6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x^{3} \sin (x) - 3 \int \sin (x) (x^{2}) d x$

Schritt 7

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = \sin (x)$ .

$x^{3} \sin (x) - 3 (x^{2} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (2 x) d x)$

Schritt 8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x^{3} \sin (x) - 3 (x^{2} (- \cos (x)) - \int - 2 \cos (x) x d x)$

Schritt 9

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$x^{3} \sin (x) - 3 (x^{2} (- \cos (x)) - (- 2 \int \cos (x) x d x))$

Schritt 10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$x^{3} \sin (x) - 3 (x^{2} (- \cos (x)) + 2 \int \cos (x) x d x)$

Schritt 11

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \cos (x)$ .

$x^{3} \sin (x) - 3 (x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - \int \sin (x) d x))$

Schritt 12

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$x^{3} \sin (x) - 3 (x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C)))$

Schritt 13

Schreibe $x^{3} \sin (x) - 3 (x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C)))$ als $x^{3} \sin (x) - 3 (- x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)) + C$ um.

$x^{3} \sin (x) - 3 (- x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)) + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x^{3} \cos (x)$ .

$F (x) =$ $x^{3} \sin (x) - 3 (- x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)) + C$