Analysis Beispiele

$x^{7} e^{x^{8}}$

Schritt 1

Schreibe $x^{7} e^{x^{8}}$ als Funktion.

$f (x) = x^{7} e^{x^{8}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x^{7} e^{x^{8}} d x$

Schritt 4

Sei $u_{1} = x^{2}$ . Dann ist $d u_{1} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{1} = x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int {\sqrt{u_{1}}}^{6} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ als ${u_{1}}^{3}$ um.

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Schritt 5.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 5.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 5.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $6$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{6}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 5.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 5.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 5.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 5.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 5.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int {u_{1}}^{\frac{3}{1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 5.1.4.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$\int {u_{1}}^{3} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 5.2

Schreibe ${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ als ${u_{1}}^{4}$ um.

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Schritt 5.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int {u_{1}}^{3} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 5.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 5.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $8$ .

$\int {u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{\frac{8}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\int {u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 5.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\int {u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 5.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int {u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 5.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int {u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{\frac{4}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 5.2.4.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$\int {u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${u_{1}}^{3}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{3}}{2} e^{{u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Schritt 5.4

Kombiniere $\frac{{u_{1}}^{3}}{2}$ und $e^{{u_{1}}^{4}}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{4}}}{2} d u_{1}$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Schritt 7

Sei $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Schritt 7.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe ${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ als ${u_{2}}^{2}$ um.

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Schritt 8.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{2}}$ als ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 8.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 8.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 8.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 8.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 8.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 8.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 8.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 8.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u_{2}}{2} e^{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 8.3

Kombiniere $\frac{u_{2}}{2}$ und $e^{{u_{2}}^{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u_{2} e^{{u_{2}}^{2}}}{2} d u_{2}$

Schritt 9

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 11

Sei $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Dann ist $d u_{3} = 2 u_{2} d u_{2}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

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Schritt 11.1

Es sei $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Schritt 11.1.1

Differenziere ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Schritt 11.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{2}$

Schritt 11.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$\frac{1}{4} \int e^{u_{3}} \frac{1}{2} d u_{3}$

Schritt 12

Kombiniere $e^{u_{3}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Schritt 13

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3})$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Schritt 14.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{8} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Schritt 15

Das Integral von $e^{u_{3}}$ nach $u_{3}$ ist $e^{u_{3}}$ .

$\frac{1}{8} (e^{u_{3}} + C)$

Schritt 16

Vereinfache.

$\frac{1}{8} e^{u_{3}} + C$

Schritt 17

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 17.1

Ersetze alle $u_{3}$ durch ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{8} e^{{u_{2}}^{2}} + C$

Schritt 17.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{1}{8} e^{{({u_{1}}^{2})}^{2}} + C$

Schritt 17.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{1}{8} e^{{({(x^{2})}^{2})}^{2}} + C$

Schritt 18

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x^{7} e^{x^{8}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{8} e^{{({(x^{2})}^{2})}^{2}} + C$