Analysis Beispiele

$\sec^{6} (x)$

Schritt 1

Schreibe $\sec^{6} (x)$ als Funktion.

$f (x) = \sec^{6} (x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sec^{6} (x) d x$

Schritt 4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.1

Schreibe $6$ um als $4$ plus $2$

$\int {\sec (x)}^{4 + 2} d x$

Schritt 4.2

Schreibe ${\sec (x)}^{4 + 2}$ als $\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)$ um.

$\int \sec^{4} (x) \sec^{2} (x) d x$

Schritt 4.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\int {\sec (x)}^{2 (2)} \sec^{2} (x) d x$

Schritt 4.4

Schreibe ${\sec (x)}^{2 (2)}$ als Potenz um.

$\int {(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x) d x$

Schritt 5

Schreibe $\sec^{2} (x)$ in $1 + \tan^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int {(1 + \tan^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x) d x$

Schritt 6

Sei $u = \tan (x)$ . Dann ist $d u = \sec^{2} (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = \tan (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 6.1.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int {(1 + u^{2})}^{2} d u$

Schritt 7

Multipliziere ${(1 + u^{2})}^{2}$ aus.

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Schritt 7.1

Schreibe ${(1 + u^{2})}^{2}$ als $(1 + u^{2}) (1 + u^{2})$ um.

$\int (1 + u^{2}) (1 + u^{2}) d u$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 1 (1 + u^{2}) + u^{2} (1 + u^{2}) d u$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} (1 + u^{2}) d u$

Schritt 7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2} d u$

Schritt 7.5

Stelle $u^{2}$ und $1$ um.

$\int 1 \cdot 1 + 1 u^{2} + 1 \cdot u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\int 1 + 1 u^{2} + 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Schritt 7.7

Mutltipliziere $u^{2}$ mit $1$ .

$\int 1 + u^{2} + 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Schritt 7.8

Mutltipliziere $u^{2}$ mit $1$ .

$\int 1 + u^{2} + u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Schritt 7.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 1 + u^{2} + u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Schritt 7.10

Addiere $2$ und $2$ .

$\int 1 + u^{2} + u^{2} + u^{4} d u$

Schritt 7.11

Addiere $u^{2}$ und $u^{2}$ .

$\int 1 + 2 u^{2} + u^{4} d u$

Schritt 7.12

Stelle $2 u^{2}$ und $u^{4}$ um.

$\int 1 + u^{4} + 2 u^{2} d u$

Schritt 7.13

Bewege $1$ .

$\int u^{4} + 2 u^{2} + 1 d u$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int u^{4} d u + \int 2 u^{2} d u + \int d u$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \int 2 u^{2} d u + \int d u$

Schritt 10

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 \int u^{2} d u + \int d u$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u$

Schritt 12

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C$

Schritt 13.2

Vereinfache.

$\frac{u^{5}}{5} + \frac{2 u^{3}}{3} + u + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $\tan (x)$ .

$\frac{\tan^{5} (x)}{5} + \frac{2 \tan^{3} (x)}{3} + \tan (x) + C$

Schritt 15

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{5} \tan^{5} (x) + \frac{2}{3} \tan^{3} (x) + \tan (x) + C$

Schritt 16

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sec^{6} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{5} \tan^{5} (x) + \frac{2}{3} \tan^{3} (x) + \tan (x) + C$