Analysis Beispiele

$\frac{x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Schritt 4

Sei $x = 4 \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 4 \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $4 \cos (t)$ positiv ist.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Vereinfache $\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}$ .

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Schritt 5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1

Wende die Produktregel auf $4 \sin (t)$ an.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 - (4^{2} \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 - (16 \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.1.3

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 - 16 \sin^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $16$ aus $16$ heraus.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 (1) - 16 \sin^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $16$ aus $- 16 \sin^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere $16$ aus $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 (1 - \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 \cos^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.6

Schreibe $16 \cos^{2} (t)$ als ${(4 \cos (t))}^{2}$ um.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 \cos (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{4 \cos (t)} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 5.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 \cos (t)$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{4 \cos (t)} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\int {(4 \sin (t))}^{2} d t$

Schritt 5.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sin (t)$ heraus.

$\int {(4 (\sin (t)))}^{2} d t$

Schritt 5.2.2.2

Wende die Produktregel auf $4 (\sin (t))$ an.

$\int 4^{2} \sin^{2} (t) d t$

Schritt 5.2.2.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\int 16 \sin^{2} (t) d t$

Schritt 6

Da $16$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $16$ aus dem Integral.

$16 \int \sin^{2} (t) d t$

Schritt 7

Benutze die Halbwinkelformel, um $\sin^{2} (t)$ als $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ neu zu schreiben.

$16 \int \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$16 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $16$ .

$\frac{16}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{2 \cdot 8}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Schritt 9.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Schritt 9.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Schritt 9.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8}{1} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Schritt 9.2.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$8 \int 1 - \cos (2 t) d t$

Schritt 10

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$8 (\int d t + \int - \cos (2 t) d t)$

Schritt 11

Wende die Konstantenregel an.

$8 (t + C + \int - \cos (2 t) d t)$

Schritt 12

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$8 (t + C - \int \cos (2 t) d t)$

Schritt 13

Sei $u = 2 t$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 13.1

Es sei $u = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 13.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 13.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 13.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 13.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 13.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$8 (t + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 14

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$8 (t + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 15

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$8 (t + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Schritt 16

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$8 (t + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Schritt 17

Vereinfache.

$8 (t - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 18

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 18.1

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$8 (\arcsin (\frac{x}{4}) - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 18.2

Ersetze alle $u$ durch $2 t$ .

$8 (\arcsin (\frac{x}{4}) - \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Schritt 18.3

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$8 (\arcsin (\frac{x}{4}) - \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Schritt 19

Vereinfache.

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Schritt 19.1

Kombiniere $\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))$ und $\frac{1}{2}$ .

$8 (\arcsin (\frac{x}{4}) - \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Schritt 19.2

Wende das Distributivgesetz an.

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 8 (- \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Schritt 19.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 19.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}$ in den Zähler.

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 8 \frac{- \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Schritt 19.3.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 2 (4) \frac{- \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Schritt 19.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 2 \cdot 4 \frac{- \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Schritt 19.3.4

Forme den Ausdruck um.

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 4 (- \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Schritt 19.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) - 4 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4})) + C$

Schritt 20

Stelle die Terme um.

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x) - 4 \sin (2 \arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$

Schritt 21

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}}$ .

$F (x) =$ $8 \arcsin (\frac{1}{4} x) - 4 \sin (2 \arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$