Analysis Beispiele

$\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Schritt 4

Sei $u = - \frac{1}{x}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ , folglich $x^{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = - \frac{1}{x}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.3

Differenziere.

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Schritt 4.1.3.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.3.3

Multipliziere.

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Schritt 4.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.3.3.2

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Schritt 4.1.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Schritt 4.1.3.5.2

Addiere $x^{- 2}$ und $0$ .

$x^{- 2}$

Schritt 4.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int e^{u} d u$

Schritt 5

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{u} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $- \frac{1}{x}$ .

$e^{- \frac{1}{x}} + C$

Schritt 7

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $e^{- \frac{1}{x}} + C$