Analysis Beispiele

$- 4 π^{2} \cos (2 π x)$

Schritt 1

Schreibe $- 4 π^{2} \cos (2 π x)$ als Funktion.

$f (x) = - 4 π^{2} \cos (2 π x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int - 4 π^{2} \cos (2 π x) d x$

Schritt 4

Da $- 4 π^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4 π^{2}$ aus dem Integral.

$- 4 π^{2} \int \cos (2 π x) d x$

Schritt 5

Sei $u = 2 π x$ . Dann ist $d u = 2 π d x$ , folglich $\frac{1}{2 π} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 2 π x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $2 π x$ .

$\frac{d}{d x} [2 π x]$

Schritt 5.1.2

Da $2 π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 π x$ nach $x$ gleich $2 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 π \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 π \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- 4 π^{2} \int \cos (u) \frac{1}{2 π} d u$

Schritt 6

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2 π}$ .

$- 4 π^{2} \int \frac{\cos (u)}{2 π} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2 π}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2 π}$ aus dem Integral.

$- 4 π^{2} (\frac{1}{2 π} \int \cos (u) d u)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{2 π}$ und $- 4$ .

$\frac{- 4}{2 π} π^{2} \int \cos (u) d u$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{- 4}{2 π}$ und $π^{2}$ .

$\frac{- 4 π^{2}}{2 π} \int \cos (u) d u$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 π^{2}$ heraus.

$\frac{2 (- 2 π^{2})}{2 π} \int \cos (u) d u$

Schritt 8.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{2 (- 2 π^{2})}{2 (π)} \int \cos (u) d u$

Schritt 8.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 2 π^{2})}{2 π} \int \cos (u) d u$

Schritt 8.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 π^{2}}{π} \int \cos (u) d u$

Schritt 8.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $π^{2}$ und $π$ .

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Schritt 8.4.1

Faktorisiere $π$ aus $- 2 π^{2}$ heraus.

$\frac{π (- 2 π)}{π} \int \cos (u) d u$

Schritt 8.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.4.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{π (- 2 π)}{π \cdot 1} \int \cos (u) d u$

Schritt 8.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π (- 2 π)}{π \cdot 1} \int \cos (u) d u$

Schritt 8.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 π}{1} \int \cos (u) d u$

Schritt 8.4.2.4

Dividiere $- 2 π$ durch $1$ .

$- 2 π \int \cos (u) d u$

Schritt 9

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$- 2 π (\sin (u) + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

$- 2 π \sin (u) + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $2 π x$ .

$- 2 π \sin (2 π x) + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = - 4 π^{2} \cos (2 π x)$ .

$F (x) =$ $- 2 π \sin (2 π x) + C$