Analysis Beispiele

$\frac{(4 \ln (x))}{x}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{(4 \ln (x))}{x}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{(4 \ln (x))}{x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{4 \ln (x)}{x} d x$

Schritt 4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Schritt 5

Sei $u = \ln (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Es sei $u = \ln (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Differenziere $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 5.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$4 \int u d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Schreibe $4 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ als $4 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ um.

$4 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} u^{2} + C$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2} u^{2} + C$

Schritt 7.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} u^{2} + C$

Schritt 7.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} u^{2} + C$

Schritt 7.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} u^{2} + C$

Schritt 7.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 u^{2} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$2 \ln^{2} (x) + C$

Schritt 9

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{4 \ln (x)}{x}$ .

$F (x) =$ $2 \ln^{2} (x) + C$