Analysis Beispiele

$5^{x} \ln (5) + \frac{2}{x^{2} + 1}$

Schritt 1

Schreibe $5^{x} \ln (5) + \frac{2}{x^{2} + 1}$ als Funktion.

$f (x) = 5^{x} \ln (5) + \frac{2}{x^{2} + 1}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 5^{x} \ln (5) + \frac{2}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 5^{x} \ln (5) d x + \int \frac{2}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 5

Da $\ln (5)$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\ln (5)$ aus dem Integral.

$\ln (5) \int 5^{x} d x + \int \frac{2}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 6

Das Integral von $5^{x}$ nach $x$ ist $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ .

$\ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C) + \int \frac{2}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C) + 2 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1

Stelle $x^{2}$ und $1$ um.

$\ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C) + 2 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 8.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C) + 2 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 9

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\arctan (x) + C$ .

$\ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C) + 2 (\arctan (x) + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

$5^{x} + 2 \arctan (x) + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 5^{x} \ln (5) + \frac{2}{x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $5^{x} + 2 \arctan (x) + C$