Analysis Beispiele

$x^{3} \sqrt{1 - x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $x^{3} \sqrt{1 - x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = x^{3} \sqrt{1 - x^{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Schritt 4

Sei $x = \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ positiv ist.

$\int \sin^{3} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Vereinfache $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Schritt 5.1.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \sin^{3} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Schritt 5.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \sin^{3} (t) \cos (t) \cos (t) d t$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Schritt 5.2.2

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Schritt 5.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \sin^{3} (t) {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Schritt 5.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \sin^{3} (t) \cos^{2} (t) d t$

Schritt 6

Faktorisiere $\sin^{2} (t)$ aus.

$\int \sin^{2} (t) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

Schritt 7

Schreibe $\sin^{2} (t)$ in $1 - \cos^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

Schritt 8

Sei $u = \cos (t)$ . Dann ist $d u = - \sin (t) d t$ , folglich $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = \cos (t)$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Schritt 8.1.2

Die Ableitung von $\cos (t)$ nach $t$ ist $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Schritt 9

Multipliziere $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Schreibe $- 1 u^{2}$ als $- u^{2}$ um.

$\int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Schritt 10.2

Multipliziere $u^{2}$ mit $u^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Schritt 10.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\int - u^{2} + u^{4} d u$

Schritt 11

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Schritt 12

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Schritt 13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u$

Schritt 14

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Schritt 15.2

Vereinfache.

$- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Schritt 16

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 16.1

Ersetze alle $u$ durch $\cos (t)$ .

$- \frac{1}{3} \cos^{3} (t) + \frac{1}{5} \cos^{5} (t) + C$

Schritt 16.2

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (x)$ .

$- \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (x)) + \frac{1}{5} \cos^{5} (\arcsin (x)) + C$

Schritt 17

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x^{3} \sqrt{1 - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (x)) + \frac{1}{5} \cos^{5} (\arcsin (x)) + C$