Analysis Beispiele

$(6 x + 4) (3 x - 5)$

Schritt 1

Schreibe $(6 x + 4) (3 x - 5)$ als Funktion.

$f (x) = (6 x + 4) (3 x - 5)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int (6 x + 4) (3 x - 5) d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 6 x (3 x - 5) + 4 (3 x - 5) d x$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 6 x (3 x) + 6 x \cdot - 5 + 4 (3 x - 5) d x$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 6 x (3 x) + 6 x \cdot - 5 + 4 (3 x) + 4 \cdot - 5 d x$

Schritt 4.4

Bewege $x$ .

$\int 6 \cdot 3 x \cdot x + 6 x \cdot - 5 + 4 (3 x) + 4 \cdot - 5 d x$

Schritt 4.5

Bewege $x$ .

$\int 6 \cdot 3 x \cdot x + 6 \cdot - 5 x + 4 (3 x) + 4 \cdot - 5 d x$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$\int 18 x \cdot x + 6 \cdot - 5 x + 4 \cdot 3 x + 4 \cdot - 5 d x$

Schritt 4.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 18 (x^{1} x) + 6 \cdot - 5 x + 4 \cdot 3 x + 4 \cdot - 5 d x$

Schritt 4.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 18 (x^{1} x^{1}) + 6 \cdot - 5 x + 4 \cdot 3 x + 4 \cdot - 5 d x$

Schritt 4.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 18 x^{1 + 1} + 6 \cdot - 5 x + 4 \cdot 3 x + 4 \cdot - 5 d x$

Schritt 4.10

Addiere $1$ und $1$ .

$\int 18 x^{2} + 6 \cdot - 5 x + 4 \cdot 3 x + 4 \cdot - 5 d x$

Schritt 4.11

Mutltipliziere $6$ mit $- 5$ .

$\int 18 x^{2} - 30 x + 4 \cdot 3 x + 4 \cdot - 5 d x$

Schritt 4.12

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\int 18 x^{2} - 30 x + 12 x + 4 \cdot - 5 d x$

Schritt 4.13

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$\int 18 x^{2} - 30 x + 12 x - 20 d x$

Schritt 4.14

Addiere $- 30 x$ und $12 x$ .

$\int 18 x^{2} - 18 x - 20 d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 18 x^{2} d x + \int - 18 x d x + \int - 20 d x$

Schritt 6

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $18$ aus dem Integral.

$18 \int x^{2} d x + \int - 18 x d x + \int - 20 d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$18 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 18 x d x + \int - 20 d x$

Schritt 8

Da $- 18$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 18$ aus dem Integral.

$18 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 18 \int x d x + \int - 20 d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$18 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 18 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 20 d x$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$18 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 18 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 20 x + C$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

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Schritt 11.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$18 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 18 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 20 x + C$

Schritt 11.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$18 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 18 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 20 x + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

$6 x^{3} - 9 x^{2} - 20 x + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = (6 x + 4) (3 x - 5)$ .

$F (x) =$ $6 x^{3} - 9 x^{2} - 20 x + C$