Analysis Beispiele

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ als Funktion.

$f (x) = {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int {(\sin (x) + \cos (x))}^{2} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ als $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ um.

$\int (\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x)) d x$

Schritt 4.2

Multipliziere $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) d x$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) d x$

Schritt 4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Schritt 4.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Multipliziere $\sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 4.3.1.1.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\int \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Schritt 4.3.1.1.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\int \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Schritt 4.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Schritt 4.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 4.3.1.2.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

Schritt 4.3.1.2.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

Schritt 4.3.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

Schritt 4.3.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Schritt 4.3.2

Stelle die Faktoren von $\sin (x) \cos (x)$ um.

$\int \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Schritt 4.3.3

Addiere $\cos (x) \sin (x)$ und $\cos (x) \sin (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Schritt 4.4

Bewege $\cos^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Schritt 4.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int 1 + 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Schritt 4.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.6.1

Stelle $2 \cos (x)$ und $\sin (x)$ um.

$\int 1 + \sin (x) (2 \cos (x)) d x$

Schritt 4.6.2

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$\int 1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) d x$

Schritt 4.6.3

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\int 1 + \sin (2 x) d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d x + \int \sin (2 x) d x$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$x + C + \int \sin (2 x) d x$

Schritt 7

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 7.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$x + C + \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 8

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$x + C + \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Schritt 9

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$x + C + \frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

Schritt 10

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$x + C + \frac{1}{2} (- \cos (u) + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

$x - \frac{\cos (u)}{2} + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$x - \frac{\cos (2 x)}{2} + C$

Schritt 13

Stelle die Terme um.

$x - \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $x - \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$