Analysis Beispiele

$\frac{(4 x^{2} - 7 x - 6)}{x}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{(4 x^{2} - 7 x - 6)}{x}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{(4 x^{2} - 7 x - 6)}{x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{4 x^{2} - 7 x - 6}{x} d x$

Schritt 4

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int \frac{4 x^{2}}{x} + \frac{- 7 x}{x} + \frac{- 6}{x} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{4 x^{2}}{x} d x + \int \frac{- 7 x}{x} d x + \int \frac{- 6}{x} d x$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\int \frac{x (4 x)}{x} d x + \int \frac{- 7 x}{x} d x + \int \frac{- 6}{x} d x$

Schritt 6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int \frac{x (4 x)}{x^{1}} d x + \int \frac{- 7 x}{x} d x + \int \frac{- 6}{x} d x$

Schritt 6.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\int \frac{x (4 x)}{x \cdot 1} d x + \int \frac{- 7 x}{x} d x + \int \frac{- 6}{x} d x$

Schritt 6.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{x (4 x)}{x \cdot 1} d x + \int \frac{- 7 x}{x} d x + \int \frac{- 6}{x} d x$

Schritt 6.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{4 x}{1} d x + \int \frac{- 7 x}{x} d x + \int \frac{- 6}{x} d x$

Schritt 6.1.2.5

Dividiere $4 x$ durch $1$ .

$\int 4 x d x + \int \frac{- 7 x}{x} d x + \int \frac{- 6}{x} d x$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int 4 x d x + \int \frac{- 7 x}{x} d x + \int \frac{- 6}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Dividiere $- 7$ durch $1$ .

$\int 4 x d x + \int - 7 d x + \int \frac{- 6}{x} d x$

Schritt 7

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int x d x + \int - 7 d x + \int \frac{- 6}{x} d x$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 \int x d x + \int - 7 d x + \int - \frac{6}{x} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 7 d x + \int - \frac{6}{x} d x$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 7 x + C + \int - \frac{6}{x} d x$

Schritt 11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 7 x + C + \int - \frac{6}{x} d x$

Schritt 12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 7 x + C - \int \frac{6}{x} d x$

Schritt 13

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 7 x + C - (6 \int \frac{1}{x} d x)$

Schritt 14

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 7 x + C - 6 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 15

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 7 x + C - 6 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 16

Vereinfache.

$2 x^{2} - 7 x - 6 \ln (| x |) + C$

Schritt 17

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{4 x^{2} - 7 x - 6}{x}$ .

$F (x) =$ $2 x^{2} - 7 x - 6 \ln (| x |) + C$