Analysis Beispiele

$\frac{\sec^{3} (θ) \tan (θ)}{1 + \tan^{2} (θ)}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{\sec^{3} (θ) \tan (θ)}{1 + \tan^{2} (θ)}$ als Funktion.

$f (θ) = \frac{\sec^{3} (θ) \tan (θ)}{1 + \tan^{2} (θ)}$

Schritt 2

Die Funktion $F (θ)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (θ)$ ermittelt wird.

$F (θ) = \int f (θ) d θ$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (θ) = \int \frac{\sec^{3} (θ) \tan (θ)}{1 + \tan^{2} (θ)} d θ$

Schritt 4

Ordne Terme um.

$\int \frac{\sec^{3} (θ) \tan (θ)}{\tan^{2} (θ) + 1} d θ$

Schritt 5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{\sec^{3} (θ) \tan (θ)}{\sec^{2} (θ)} d θ$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sec^{3} (θ)$ und $\sec^{2} (θ)$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $\sec^{2} (θ)$ aus $\sec^{3} (θ) \tan (θ)$ heraus.

$\int \frac{\sec^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ))}{\sec^{2} (θ)} d θ$

Schritt 6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ))}{\sec^{2} (θ) \cdot 1} d θ$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{\sec^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ))}{\sec^{2} (θ) \cdot 1} d θ$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{\sec (θ) \tan (θ)}{1} d θ$

Schritt 6.2.4

Dividiere $\sec (θ) \tan (θ)$ durch $1$ .

$\int \sec (θ) \tan (θ) d θ$

Schritt 7

Da die Ableitung von $\sec (θ)$ gleich $\sec (θ) \tan (θ)$ ist, ist das Integral von $\sec (θ) \tan (θ)$ gleich $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) + C$

Schritt 8

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (θ) = \frac{\sec^{3} (θ) \tan (θ)}{1 + \tan^{2} (θ)}$ .

$F (θ) =$ $\sec (θ) + C$