Analysis Beispiele

$x e^{- 7 x}$

Schritt 1

Schreibe $x e^{- 7 x}$ als Funktion.

$f (x) = x e^{- 7 x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x e^{- 7 x} d x$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{- 7 x}$ .

$x (- \frac{1}{7} e^{- 7 x}) - \int - \frac{1}{7} e^{- 7 x} d x$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $e^{- 7 x}$ und $\frac{1}{7}$ .

$x (- \frac{e^{- 7 x}}{7}) - \int - \frac{1}{7} e^{- 7 x} d x$

Schritt 5.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{- 7 x}}{7}$ .

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} - \int - \frac{1}{7} e^{- 7 x} d x$

Schritt 6

Da $- \frac{1}{7}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- \frac{1}{7}$ aus dem Integral.

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} - (- \frac{1}{7} \int e^{- 7 x} d x)$

Schritt 7

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} + 1 (\frac{1}{7} \int e^{- 7 x} d x)$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $\frac{1}{7}$ mit $1$ .

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} + \frac{1}{7} \int e^{- 7 x} d x$

Schritt 8

Sei $u = - 7 x$ . Dann ist $d u = - 7 d x$ , folglich $- \frac{1}{7} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = - 7 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $- 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 7 x]$

Schritt 8.1.2

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 7 \cdot 1$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$- 7$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} + \frac{1}{7} \int e^{u} \frac{1}{- 7} d u$

Schritt 9

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Schritt 9.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} + \frac{1}{7} \int e^{u} (- \frac{1}{7}) d u$

Schritt 9.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} + \frac{1}{7} \int - \frac{e^{u}}{7} d u$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} + \frac{1}{7} (- \int \frac{e^{u}}{7} d u)$

Schritt 11

Da $\frac{1}{7}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{7}$ aus dem Integral.

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} + \frac{1}{7} (- (\frac{1}{7} \int e^{u} d u))$

Schritt 12

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Schritt 12.1

Mutltipliziere $\frac{1}{7}$ mit $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} - \frac{1}{7 \cdot 7} \int e^{u} d u$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} - \frac{1}{49} \int e^{u} d u$

Schritt 13

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} - \frac{1}{49} (e^{u} + C)$

Schritt 14

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Schritt 14.1

Schreibe $- \frac{x e^{- 7 x}}{7} - \frac{1}{49} (e^{u} + C)$ als $- \frac{1}{7} x e^{- 7 x} - \frac{1}{49} e^{u} + C$ um.

$- \frac{1}{7} x e^{- 7 x} - \frac{1}{49} e^{u} + C$

Schritt 14.2

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Schritt 14.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{x}{7} e^{- 7 x} - \frac{1}{49} e^{u} + C$

Schritt 14.2.2

Kombiniere $e^{- 7 x}$ und $\frac{x}{7}$ .

$- \frac{e^{- 7 x} x}{7} - \frac{1}{49} e^{u} + C$

Schritt 15

Ersetze alle $u$ durch $- 7 x$ .

$- \frac{e^{- 7 x} x}{7} - \frac{1}{49} e^{- 7 x} + C$

Schritt 16

Kombiniere $e^{- 7 x}$ und $\frac{1}{49}$ .

$- \frac{e^{- 7 x} x}{7} - \frac{e^{- 7 x}}{49} + C$

Schritt 17

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{7} e^{- 7 x} x - \frac{1}{49} e^{- 7 x} + C$

Schritt 18

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x e^{- 7 x}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{7} e^{- 7 x} x - \frac{1}{49} e^{- 7 x} + C$