Analysis Beispiele

$\sin^{3} (x) \cos^{2} (x)$

Schritt 1

Schreibe $\sin^{3} (x) \cos^{2} (x)$ als Funktion.

$f (x) = \sin^{3} (x) \cos^{2} (x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sin^{3} (x) \cos^{2} (x) d x$

Schritt 4

Faktorisiere $\sin^{2} (x)$ aus.

$\int \sin^{2} (x) \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Schritt 5

Schreibe $\sin^{2} (x)$ in $1 - \cos^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int (1 - \cos^{2} (x)) \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Schritt 6

Sei $u = \cos (x)$ . Dann ist $d u = - \sin (x) d x$ , folglich $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 6.1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Schritt 7

Multipliziere $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe $- 1 u^{2}$ als $- u^{2}$ um.

$\int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Schritt 8.2

Multipliziere $u^{2}$ mit $u^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Schritt 8.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\int - u^{2} + u^{4} d u$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u$

Schritt 12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Schritt 13.2

Vereinfache.

$- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$- \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + \frac{1}{5} \cos^{5} (x) + C$

Schritt 15

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sin^{3} (x) \cos^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + \frac{1}{5} \cos^{5} (x) + C$