Analysis Beispiele

$\sin (x) \tan^{2} (x)$

Schritt 1

Schreibe $\sin (x) \tan^{2} (x)$ als Funktion.

$f (x) = \sin (x) \tan^{2} (x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sin (x) \tan^{2} (x) d x$

Schritt 4

Schreibe $\tan^{2} (x)$ in $- 1 + \sec^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int \sin (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

$\int - \sin (x) + \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - \sin (x) d x + \int \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \sin (x) d x + \int \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

Schritt 8

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

Schritt 9

Vereinfache $\sin (x) \sec^{2} (x)$ .

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Schritt 9.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- (- \cos (x) + C) + \int \sin (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} d x$

Schritt 9.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$- (- \cos (x) + C) + \int \sin (x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} d x$

Schritt 9.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- (- \cos (x) + C) + \int \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)} d x$

Schritt 9.4

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} d x$

Schritt 9.5

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$- (- \cos (x) + C) + \int \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} d x$

Schritt 9.6

Separiere Brüche.

$- (- \cos (x) + C) + \int \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x$

Schritt 9.7

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$- (- \cos (x) + C) + \int \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) d x$

Schritt 9.8

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$- (- \cos (x) + C) + \int \sec (x) \tan (x) d x$

Schritt 10

Da die Ableitung von $\sec (x)$ gleich $\sec (x) \tan (x)$ ist, ist das Integral von $\sec (x) \tan (x)$ gleich $\sec (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \sec (x) + C$

Schritt 11

Vereinfache.

$\cos (x) + \sec (x) + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sin (x) \tan^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $\cos (x) + \sec (x) + C$