Analysis Beispiele

$\frac{1}{2} x^{2} \ln (x) - \frac{3}{4} x^{2}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{2} x^{2} \ln (x) - \frac{3}{4} x^{2}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} \ln (x) - \frac{3}{4} x^{2}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{2} \cdot (x^{2} \ln (x)) - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{x^{2}}{2} \cdot \ln (x) - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Schritt 4.2

Kombiniere $\frac{x^{2}}{2}$ und $\ln (x)$ .

$\int \frac{x^{2} \ln (x)}{2} - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{x^{2} \ln (x)}{2} d x + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int x^{2} \ln (x) d x + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Schritt 7

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Schritt 8.2

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Schritt 8.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Schritt 8.4

Mutltipliziere $\frac{x^{3}}{3}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{3}}{3 x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Schritt 8.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 8.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{3 x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Schritt 8.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Schritt 8.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Schritt 8.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{2}}{3} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Schritt 9

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x)) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C)) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Schritt 11

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + C)) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Schritt 12

Da $- \frac{3}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- \frac{3}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + C)) - \frac{3}{4} \int x^{2} d x$

Schritt 13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + C)) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Schritt 14.2

Vereinfache.

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Schritt 14.2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3} + C$

Schritt 14.2.2

Mutltipliziere $\frac{x^{3}}{3}$ mit $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{x^{3} \cdot 3}{3 \cdot 4} + C$

Schritt 14.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{x^{3} \cdot 3}{12} + C$

Schritt 14.2.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3 \cdot x^{3}}{12} + C$

Schritt 14.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $12$ .

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Schritt 14.2.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{3}$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3 (x^{3})}{12} + C$

Schritt 14.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.2.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3 x^{3}}{3 \cdot 4} + C$

Schritt 14.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3 x^{3}}{3 \cdot 4} + C$

Schritt 14.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{x^{3}}{4} + C$

Schritt 14.2.6

Um $\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) \cdot \frac{4}{4} - \frac{x^{3}}{4} + C$

Schritt 14.2.7

Kombiniere $\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9})$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) \cdot 4}{4} - \frac{x^{3}}{4} + C$

Schritt 14.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) \cdot 4 - x^{3}}{4} + C$

Schritt 14.2.9

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{4}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

Schritt 14.2.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 14.2.10.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{\frac{2 \cdot 2}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

Schritt 14.2.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.2.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

Schritt 14.2.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

Schritt 14.2.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{2}{1} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

Schritt 14.2.10.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{2 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

Schritt 15

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{4} (2 (\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3}) - x^{3}) + C$

Schritt 16

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} \ln (x)) - \frac{3}{4} x^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} (2 (\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3}) - x^{3}) + C$