Analysis Beispiele

$\sin^{2} (\frac{π}{4} x)$

Schritt 1

Schreibe $\sin^{2} (\frac{π}{4} x)$ als Funktion.

$f (x) = \sin^{2} (\frac{π}{4} x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sin^{2} (\frac{π}{4} x) d x$

Schritt 4

Sei $u_{1} = \frac{π}{4} x$ . Dann ist $d u_{1} = \frac{π}{4} d x$ , folglich $\frac{4}{π} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{1} = \frac{π}{4} x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $\frac{π}{4} x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{π}{4} x]$

Schritt 4.1.2

Da $\frac{π}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π}{4} x$ nach $x$ gleich $\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{π}{4} \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $1$ .

$\frac{π}{4}$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{π}{4}} d u_{1}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{π}{4}$ zu dividieren.

$\int \sin^{2} (u_{1}) (1 \frac{4}{π}) d u_{1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{4}{π}$ mit $1$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{4}{π} d u_{1}$

Schritt 5.3

Kombiniere $\sin^{2} (u_{1})$ und $\frac{4}{π}$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1}) \cdot 4}{π} d u_{1}$

Schritt 5.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sin^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{4 \sin^{2} (u_{1})}{π} d u_{1}$

Schritt 6

Da $\frac{4}{π}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{4}{π}$ aus dem Integral.

$\frac{4}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 7

Benutze die Halbwinkelformel, um $\sin^{2} (u_{1})$ als $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ neu zu schreiben.

$\frac{4}{π} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{4}{π} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{2 π} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 π} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (π)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 π} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{π} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 10

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{2}{π} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 11

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{2}{π} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 12

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{2}{π} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 13

Sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 13.1

Es sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 13.1.1

Differenziere $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Schritt 13.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $2 u_{1}$ nach $u_{1}$ gleich $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 13.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 13.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 13.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{2}{π} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Schritt 14

Kombiniere $\cos (u_{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{π} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Schritt 15

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{2}{π} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Schritt 16

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$\frac{2}{π} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Schritt 17

Vereinfache.

$\frac{2}{π} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Schritt 18

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 18.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{π}{4} x$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π}{4} x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Schritt 18.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 u_{1}$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π}{4} x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Schritt 18.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{π}{4} x$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π}{4} x - \frac{1}{2} \sin (2 (\frac{π}{4} x))) + C$

Schritt 19

Vereinfache.

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Schritt 19.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 19.1.1

Kombiniere $\frac{π}{4}$ und $x$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{1}{2} \sin (2 (\frac{π}{4} x))) + C$

Schritt 19.1.2

Kombiniere $\frac{π}{4}$ und $x$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{4})) + C$

Schritt 19.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 19.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{2 (2)})) + C$

Schritt 19.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{2 \cdot 2})) + C$

Schritt 19.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π x}{2})) + C$

Schritt 19.1.4

Kombiniere $\sin (\frac{π x}{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Schritt 19.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{4} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Schritt 19.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 19.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2 (2)} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Schritt 19.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2 \cdot 2} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Schritt 19.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π x}{2} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Schritt 19.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 19.4.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π (x)}{2} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Schritt 19.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π x}{2} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Schritt 19.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{2} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Schritt 19.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 19.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}$ in den Zähler.

$\frac{x}{2} + \frac{2}{π} \cdot \frac{- \sin (\frac{π x}{2})}{2} + C$

Schritt 19.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{2} + \frac{2}{π} \cdot \frac{- \sin (\frac{π x}{2})}{2} + C$

Schritt 19.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{2} + \frac{1}{π} (- \sin (\frac{π x}{2})) + C$

Schritt 19.6

Kombiniere $\frac{1}{π}$ und $\sin (\frac{π x}{2})$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{π} + C$

Schritt 20

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{π} \sin (\frac{π}{2} x) + C$

Schritt 21

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sin^{2} (\frac{π}{4} x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{π} \sin (\frac{π}{2} x) + C$