Analysis Beispiele

$y = 3 + 2 x - x^{2}$ , $x + y = 3$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (x)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ , wobei $f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ und $g (x) = 3 - x$

Schritt 2

Vereinfache den Integranden.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe ${(- x^{2} + 2 x + 3)}^{2}$ als $(- x^{2} + 2 x + 3) (- x^{2} + 2 x + 3)$ um.

$V = (- x^{2} + 2 x + 3) (- x^{2} + 2 x + 3) - {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $(- x^{2} + 2 x + 3) (- x^{2} + 2 x + 3)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.1.3.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.3.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.1.3.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{4}) - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$V = 1 x^{4} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.1.3.4

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.1.3.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$V = x^{4} - 1 \cdot (2 x^{2} x) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.1.3.6

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.3.6.1

Bewege $x$ .

$V = x^{4} - 1 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.1.3.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.3.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$V = x^{4} - 1 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.1.3.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$V = x^{4} - 1 \cdot (2 x^{1 + 2}) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.1.3.6.3

Addiere $1$ und $2$ .

$V = x^{4} - 1 \cdot (2 x^{3}) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.1.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$V = x^{4} - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.1.3.8

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.1.3.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x \cdot x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.1.3.10

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.3.10.1

Bewege $x^{2}$ .

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 \cdot (- 1 (x^{2} x)) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.1.3.10.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.1.3.10.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 \cdot (- 1 (x^{2} x)) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.1.3.10.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x^{2 + 1}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.1.3.10.3

Addiere $2$ und $1$ .

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x^{3}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.1.3.11

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x^{3} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.1.3.12

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x^{3} + 2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.1.3.13

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.3.13.1

Bewege $x$ .

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x^{3} + 2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.1.3.13.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x^{3} + 2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.1.3.14

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.1.3.15

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.1.3.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.1.3.17

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.1.3.18

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 3 x^{2} + 6 x + 9 - {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.1.4

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $- 2 x^{3}$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x^{2} + 6 x - 3 x^{2} + 6 x + 9 - {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.1.5

Addiere $- 3 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} + 6 x - 3 x^{2} + 6 x + 9 - {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.1.6

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 6 x + 6 x + 9 - {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.1.7

Addiere $6 x$ und $6 x$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.1.8

Schreibe ${(3 - x)}^{2}$ als $(3 - x) (3 - x)$ um.

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - ((3 - x) (3 - x))$

Schritt 2.1.9

Multipliziere $(3 - x) (3 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (3 (3 - x) - x (3 - x))$

Schritt 2.1.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x (3 - x))$

Schritt 2.1.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x))$

Schritt 2.1.10

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.10.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (9 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x))$

Schritt 2.1.10.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (9 - 3 x - x \cdot 3 - x (- x))$

Schritt 2.1.10.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (9 - 3 x - 3 x - x (- x))$

Schritt 2.1.10.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x))$

Schritt 2.1.10.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.10.1.5.1

Bewege $x$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)))$

Schritt 2.1.10.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot (- 1 x^{2}))$

Schritt 2.1.10.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (9 - 3 x - 3 x + 1 x^{2})$

Schritt 2.1.10.1.7

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (9 - 3 x - 3 x + x^{2})$

Schritt 2.1.10.2

Subtrahiere $3 x$ von $- 3 x$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (9 - 6 x + x^{2})$

Schritt 2.1.11

Wende das Distributivgesetz an.

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - 1 \cdot 9 - (- 6 x) - x^{2}$

Schritt 2.1.12

Vereinfache.

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Schritt 2.1.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - 9 - (- 6 x) - x^{2}$

Schritt 2.1.12.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - 9 + 6 x - x^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - 9 + 6 x - x^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 0 + 6 x - x^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Addiere $x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x$ und $0$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 6 x - x^{2}$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $- 2 x^{2}$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x + 6 x$

Schritt 2.2.3

Addiere $12 x$ und $6 x$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 3 x^{2} + 18 x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$V = π (\int_{0}^{3} x^{4} d x + \int_{0}^{3} - 4 x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 18 x d x)$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - 4 x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 18 x d x)$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - 4 x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 18 x d x)$

Schritt 6

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3} - 4 \int_{0}^{3} x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 18 x d x)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3} - 4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 18 x d x)$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 18 x d x)$

Schritt 9

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 \int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{0}^{3} 18 x d x)$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 18 x d x)$

Schritt 11

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 18 x d x)$

Schritt 12

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $18$ aus dem Integral.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 18 \int_{0}^{3} x d x)$

Schritt 13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 18 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3}))$

Schritt 14

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 14.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 18 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}))$

Schritt 14.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 14.2.1

Berechne $\frac{x^{5}}{5}$ bei $3$ und $0$ .

$V = π ((\frac{3^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 18 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}))$

Schritt 14.2.2

Berechne $\frac{x^{4}}{4}$ bei $3$ und $0$ .

$V = π (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5} - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 18 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}))$

Schritt 14.2.3

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $3$ und $0$ .

$V = π (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5} - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}))$

Schritt 14.2.4

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $3$ und $0$ .

$V = π (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5} - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5

Vereinfache.

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Schritt 14.2.5.1

Potenziere $3$ mit $5$ .

$V = π (\frac{243}{5} - \frac{0^{5}}{5} - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$V = π (\frac{243}{5} - \frac{0}{5} - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

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Schritt 14.2.5.3.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$V = π (\frac{243}{5} - \frac{5 (0)}{5} - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.2.5.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$V = π (\frac{243}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (\frac{243}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (\frac{243}{5} - \frac{0}{1} - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$V = π (\frac{243}{5} - 0 - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$V = π (\frac{243}{5} + 0 - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.5

Addiere $\frac{243}{5}$ und $0$ .

$V = π (\frac{243}{5} - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.6

Potenziere $3$ mit $4$ .

$V = π (\frac{243}{5} - 4 (\frac{81}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.7

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$V = π (\frac{243}{5} - 4 (\frac{81}{4} - \frac{0}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.5.8.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$V = π (\frac{243}{5} - 4 (\frac{81}{4} - \frac{4 (0)}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.5.8.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$V = π (\frac{243}{5} - 4 (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (\frac{243}{5} - 4 (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (\frac{243}{5} - 4 (\frac{81}{4} - \frac{0}{1}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.8.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$V = π (\frac{243}{5} - 4 (\frac{81}{4} - 0) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$V = π (\frac{243}{5} - 4 (\frac{81}{4} + 0) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.10

Addiere $\frac{81}{4}$ und $0$ .

$V = π (\frac{243}{5} - 4 (\frac{81}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.11

Kombiniere $- 4$ und $\frac{81}{4}$ .

$V = π (\frac{243}{5} + \frac{- 4 \cdot 81}{4} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.12

Mutltipliziere $- 4$ mit $81$ .

$V = π (\frac{243}{5} + \frac{- 324}{4} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 324$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.5.13.1

Faktorisiere $4$ aus $- 324$ heraus.

$V = π (\frac{243}{5} + \frac{4 \cdot - 81}{4} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.5.13.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$V = π (\frac{243}{5} + \frac{4 \cdot - 81}{4 (1)} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (\frac{243}{5} + \frac{4 \cdot - 81}{4 \cdot 1} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (\frac{243}{5} + \frac{- 81}{1} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.13.2.4

Dividiere $- 81$ durch $1$ .

$V = π (\frac{243}{5} - 81 - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.14

Um $- 81$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{243}{5} - 81 \cdot \frac{5}{5} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.15

Kombiniere $- 81$ und $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{243}{5} + \frac{- 81 \cdot 5}{5} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{243 - 81 \cdot 5}{5} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.17

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.5.17.1

Mutltipliziere $- 81$ mit $5$ .

$V = π (\frac{243 - 405}{5} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.17.2

Subtrahiere $405$ von $243$ .

$V = π (\frac{- 162}{5} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.18

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.19

Potenziere $3$ mit $3$ .

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.20

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.5.20.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.20.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.5.20.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.20.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.20.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.20.2.4

Dividiere $9$ durch $1$ .

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.21

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{0}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.22

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.5.22.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{3 (0)}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.22.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.5.22.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.22.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.22.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{0}{1}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.22.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (9 - 0) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.23

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (9 + 0) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.24

Addiere $9$ und $0$ .

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 \cdot 9 + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.25

Mutltipliziere $- 3$ mit $9$ .

$V = π (- \frac{162}{5} - 27 + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.26

Um $- 27$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$V = π (- \frac{162}{5} - 27 \cdot \frac{5}{5} + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.27

Kombiniere $- 27$ und $\frac{5}{5}$ .

$V = π (- \frac{162}{5} + \frac{- 27 \cdot 5}{5} + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.28

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{- 162 - 27 \cdot 5}{5} + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.29

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.5.29.1

Mutltipliziere $- 27$ mit $5$ .

$V = π (\frac{- 162 - 135}{5} + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.29.2

Subtrahiere $135$ von $- 162$ .

$V = π (\frac{- 297}{5} + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.30

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V = π (- \frac{297}{5} + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.31

Potenziere $3$ mit $2$ .

$V = π (- \frac{297}{5} + 18 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 14.2.5.32

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$V = π (- \frac{297}{5} + 18 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2}))$

Schritt 14.2.5.33

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.5.33.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$V = π (- \frac{297}{5} + 18 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2}))$

Schritt 14.2.5.33.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.5.33.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$V = π (- \frac{297}{5} + 18 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Schritt 14.2.5.33.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (- \frac{297}{5} + 18 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Schritt 14.2.5.33.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (- \frac{297}{5} + 18 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1}))$

Schritt 14.2.5.33.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$V = π (- \frac{297}{5} + 18 (\frac{9}{2} - 0))$

Schritt 14.2.5.34

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$V = π (- \frac{297}{5} + 18 (\frac{9}{2} + 0))$

Schritt 14.2.5.35

Addiere $\frac{9}{2}$ und $0$ .

$V = π (- \frac{297}{5} + 18 (\frac{9}{2}))$

Schritt 14.2.5.36

Kombiniere $18$ und $\frac{9}{2}$ .

$V = π (- \frac{297}{5} + \frac{18 \cdot 9}{2})$

Schritt 14.2.5.37

Mutltipliziere $18$ mit $9$ .

$V = π (- \frac{297}{5} + \frac{162}{2})$

Schritt 14.2.5.38

Kürze den gemeinsamen Teiler von $162$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.5.38.1

Faktorisiere $2$ aus $162$ heraus.

$V = π (- \frac{297}{5} + \frac{2 \cdot 81}{2})$

Schritt 14.2.5.38.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.5.38.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$V = π (- \frac{297}{5} + \frac{2 \cdot 81}{2 (1)})$

Schritt 14.2.5.38.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (- \frac{297}{5} + \frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 1})$

Schritt 14.2.5.38.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (- \frac{297}{5} + \frac{81}{1})$

Schritt 14.2.5.38.2.4

Dividiere $81$ durch $1$ .

$V = π (- \frac{297}{5} + 81)$

Schritt 14.2.5.39

Um $81$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$V = π (- \frac{297}{5} + 81 \cdot \frac{5}{5})$

Schritt 14.2.5.40

Kombiniere $81$ und $\frac{5}{5}$ .

$V = π (- \frac{297}{5} + \frac{81 \cdot 5}{5})$

Schritt 14.2.5.41

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{- 297 + 81 \cdot 5}{5})$

Schritt 14.2.5.42

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.5.42.1

Mutltipliziere $81$ mit $5$ .

$V = π (\frac{- 297 + 405}{5})$

Schritt 14.2.5.42.2

Addiere $- 297$ und $405$ .

$V = π (\frac{108}{5})$

Schritt 14.2.5.43

Kombiniere $π$ und $\frac{108}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 108}{5}$

Schritt 14.2.5.44

Bringe $108$ auf die linke Seite von $π$ .

$V = \frac{108 π}{5}$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$V = \frac{108 π}{5}$

Dezimalform:

$V = 67.85840131 \dots$

Schritt 16