Analysis Beispiele

$y = 2 - \frac{1}{2} x$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 1$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (x)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ , wobei $f (x) = - \frac{x}{2} + 2$

Schritt 2

Vereinfache den Integranden.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(- \frac{x}{2} + 2)}^{2}$ als $(- \frac{x}{2} + 2) (- \frac{x}{2} + 2)$ um.

$V = (- \frac{x}{2} + 2) (- \frac{x}{2} + 2)$

Schritt 2.2

Multipliziere $(- \frac{x}{2} + 2) (- \frac{x}{2} + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$V = - \frac{x}{2} \cdot (- \frac{x}{2} + 2) + 2 (- \frac{x}{2} + 2)$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$V = - \frac{x}{2} \cdot (- \frac{x}{2}) - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2} + 2)$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$V = - \frac{x}{2} \cdot (- \frac{x}{2}) - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Multipliziere $- \frac{x}{2} (- \frac{x}{2})$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$V = 1 (\frac{x}{2}) \cdot \frac{x}{2} - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{x}{2}$ mit $1$ .

$V = \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{x}{2}$ mit $\frac{x}{2}$ .

$V = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.1.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$V = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.1.1.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$V = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.1.1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$V = \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.1.1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$V = \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.1.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{2}$ in den Zähler.

$V = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = \frac{x^{2}}{4} - x + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{2}$ in den Zähler.

$V = \frac{x^{2}}{4} - x + 2 (\frac{- x}{2}) + 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = \frac{x^{2}}{4} - x + 2 (\frac{- x}{2}) + 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$V = \frac{x^{2}}{4} - x - x + 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - x - x + 4$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x + 4$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$V = π (\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{4} d x + \int_{0}^{1} - 2 x d x + \int_{0}^{1} 4 d x)$

Schritt 4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$V = π (\frac{1}{4} \cdot \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - 2 x d x + \int_{0}^{1} 4 d x)$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x d x + \int_{0}^{1} 4 d x)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$V = π (\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x d x + \int_{0}^{1} 4 d x)$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}$ .

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}}{4} + \int_{0}^{1} - 2 x d x + \int_{0}^{1} 4 d x)$

Schritt 7

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}}{4} - 2 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 4 d x)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}}{4} - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 4 d x)$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}}{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 4 d x)$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}}{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 4 x]_{0}^{1})$

Schritt 11

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 11.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $1$ und $0$ .

$V = π (\frac{(\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}}{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 4 x]_{0}^{1})$

Schritt 11.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $1$ und $0$ .

$V = π (\frac{(\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 x]_{0}^{1})$

Schritt 11.3

Berechne $4 x$ bei $1$ und $0$ .

$V = π (\frac{(\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4

Vereinfache.

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Schritt 11.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$V = π (\frac{\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$V = π (\frac{\frac{1}{3} - \frac{0}{3}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 11.4.3.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$V = π (\frac{\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.4.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$V = π (\frac{\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (\frac{\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (\frac{\frac{1}{3} - \frac{0}{1}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$V = π (\frac{\frac{1}{3} - 0}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$V = π (\frac{\frac{1}{3} + 0}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.5

Addiere $\frac{1}{3}$ und $0$ .

$V = π (\frac{\frac{1}{3}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.6

Schreibe $\frac{\frac{1}{3}}{4}$ als ein Produkt um.

$V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.7

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$V = π (\frac{1}{3 \cdot 4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.8

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$V = π (\frac{1}{12} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.9

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.10

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 11.4.11.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.4.11.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.11.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2} - 0) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2} + 0) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.13

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.14

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$V = π (\frac{1}{12} + \frac{- 2}{2} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 11.4.15.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$V = π (\frac{1}{12} + \frac{2 \cdot - 1}{2} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.4.15.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$V = π (\frac{1}{12} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (\frac{1}{12} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (\frac{1}{12} + \frac{- 1}{1} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.15.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$V = π (\frac{1}{12} - 1 + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.16

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{12}{12}$ .

$V = π (\frac{1}{12} - 1 \cdot \frac{12}{12} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.17

Kombiniere $- 1$ und $\frac{12}{12}$ .

$V = π (\frac{1}{12} + \frac{- 1 \cdot 12}{12} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{1 - 1 \cdot 12}{12} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.19

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.4.19.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$V = π (\frac{1 - 12}{12} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.19.2

Subtrahiere $12$ von $1$ .

$V = π (\frac{- 11}{12} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.20

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V = π (- \frac{11}{12} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.21

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$V = π (- \frac{11}{12} + 4 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.22

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$V = π (- \frac{11}{12} + 4 + 0)$

Schritt 11.4.23

Addiere $4$ und $0$ .

$V = π (- \frac{11}{12} + 4)$

Schritt 11.4.24

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{12}{12}$ .

$V = π (- \frac{11}{12} + 4 \cdot \frac{12}{12})$

Schritt 11.4.25

Kombiniere $4$ und $\frac{12}{12}$ .

$V = π (- \frac{11}{12} + \frac{4 \cdot 12}{12})$

Schritt 11.4.26

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{- 11 + 4 \cdot 12}{12})$

Schritt 11.4.27

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.4.27.1

Mutltipliziere $4$ mit $12$ .

$V = π (\frac{- 11 + 48}{12})$

Schritt 11.4.27.2

Addiere $- 11$ und $48$ .

$V = π (\frac{37}{12})$

Schritt 11.4.28

Kombiniere $π$ und $\frac{37}{12}$ .

$V = \frac{π \cdot 37}{12}$

Schritt 11.4.29

Bringe $37$ auf die linke Seite von $π$ .

$V = \frac{37 π}{12}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$V = \frac{37 π}{12}$

Dezimalform:

$V = 9.68657734 \dots$

Schritt 13