Analysis Beispiele

$y = \sqrt{25 - x^{2}}$ , $y = 0$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (x)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 5}^{5} {(f (x))}^{2} d x$ , wobei $f (x) = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Schritt 2

Vereinfache den Integranden.

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Schritt 2.1

Schreibe ${\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}^{2}$ als $(5 + x) (5 - x)$ um.

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Schritt 2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ als ${((5 + x) (5 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$V = {({((5 + x) (5 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = {((5 + x) (5 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$V = {((5 + x) (5 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = {((5 + x) (5 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$V = (5 + x) (5 - x)$

Schritt 2.1.5

Vereinfache.

$V = (5 + x) (5 - x)$

Schritt 2.2

Multipliziere $(5 + x) (5 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$V = 5 (5 - x) + x (5 - x)$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$V = 5 \cdot 5 + 5 (- x) + x (5 - x)$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$V = 5 \cdot 5 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x)$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$V = 25 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x)$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$V = 25 - 5 x + x \cdot 5 + x (- x)$

Schritt 2.3.1.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$V = 25 - 5 x + 5 \cdot x + x (- x)$

Schritt 2.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$V = 25 - 5 x + 5 x - x \cdot x$

Schritt 2.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$V = 25 - 5 x + 5 x - (x \cdot x)$

Schritt 2.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$V = 25 - 5 x + 5 x - x^{2}$

Schritt 2.3.2

Addiere $- 5 x$ und $5 x$ .

$V = 25 + 0 - x^{2}$

Schritt 2.3.3

Addiere $25$ und $0$ .

$V = 25 - x^{2}$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$V = π (\int_{- 5}^{5} 25 d x + \int_{- 5}^{5} - x^{2} d x)$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$V = π (25 x]_{- 5}^{5} + \int_{- 5}^{5} - x^{2} d x)$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$V = π (25 x]_{- 5}^{5} - \int_{- 5}^{5} x^{2} d x)$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (25 x]_{- 5}^{5} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{5}))$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$V = π (25 x]_{- 5}^{5} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{5}))$

Schritt 7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Berechne $25 x$ bei $5$ und $- 5$ .

$V = π ((25 \cdot 5) - 25 \cdot - 5 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{5}))$

Schritt 7.2.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $5$ und $- 5$ .

$V = π (25 \cdot 5 - 25 \cdot - 5 - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}))$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $25$ mit $5$ .

$V = π (125 - 25 \cdot - 5 - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}))$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $- 25$ mit $- 5$ .

$V = π (125 + 125 - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}))$

Schritt 7.2.3.3

Addiere $125$ und $125$ .

$V = π (250 - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}))$

Schritt 7.2.3.4

Potenziere $5$ mit $3$ .

$V = π (250 - (\frac{125}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}))$

Schritt 7.2.3.5

Potenziere $- 5$ mit $3$ .

$V = π (250 - (\frac{125}{3} - \frac{- 125}{3}))$

Schritt 7.2.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V = π (250 - (\frac{125}{3} + \frac{125}{3}))$

Schritt 7.2.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$V = π (250 - (\frac{125}{3} + 1 (\frac{125}{3})))$

Schritt 7.2.3.8

Mutltipliziere $\frac{125}{3}$ mit $1$ .

$V = π (250 - (\frac{125}{3} + \frac{125}{3}))$

Schritt 7.2.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (250 - \frac{125 + 125}{3})$

Schritt 7.2.3.10

Addiere $125$ und $125$ .

$V = π (250 - \frac{250}{3})$

Schritt 7.2.3.11

Um $250$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$V = π (250 \cdot \frac{3}{3} - \frac{250}{3})$

Schritt 7.2.3.12

Kombiniere $250$ und $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{250 \cdot 3}{3} - \frac{250}{3})$

Schritt 7.2.3.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{250 \cdot 3 - 250}{3})$

Schritt 7.2.3.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.14.1

Mutltipliziere $250$ mit $3$ .

$V = π (\frac{750 - 250}{3})$

Schritt 7.2.3.14.2

Subtrahiere $250$ von $750$ .

$V = π (\frac{500}{3})$

Schritt 7.2.3.15

Kombiniere $π$ und $\frac{500}{3}$ .

$V = \frac{π \cdot 500}{3}$

Schritt 7.2.3.16

Bringe $500$ auf die linke Seite von $π$ .

$V = \frac{500 π}{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$V = \frac{500 π}{3}$

Dezimalform:

$V = 523.59877559 \dots$

Schritt 9