Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{2}}{9}$ , $x = 3$ , $y = 0$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (x)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} d x$ , wobei $f (x) = \frac{x^{2}}{9}$

Schritt 2

Vereinfache den Integranden.

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{2}}{9}$ an.

$V = \frac{{(x^{2})}^{2}}{9^{2}}$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \frac{x^{2 \cdot 2}}{9^{2}}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$V = \frac{x^{4}}{9^{2}}$

Schritt 2.3

Potenziere $9$ mit $2$ .

$V = \frac{x^{4}}{81}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{81}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{81}$ aus dem Integral.

$V = π (\frac{1}{81} \cdot \int_{0}^{3} x^{4} d x)$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{81}$ und $π$ .

$V = \frac{π}{81} \cdot \int_{0}^{3} x^{4} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = \frac{π}{81} \cdot \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{1}{5} x^{5}$ bei $3$ und $0$ .

$V = \frac{π}{81} \cdot ((\frac{1}{5} \cdot 3^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Potenziere $3$ mit $5$ .

$V = \frac{π}{81} \cdot (\frac{1}{5} \cdot 243 - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

Schritt 6.2.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $243$ .

$V = \frac{π}{81} \cdot (\frac{243}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

Schritt 6.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$V = \frac{π}{81} \cdot (\frac{243}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0)$

Schritt 6.2.4

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$V = \frac{π}{81} \cdot (\frac{243}{5} + 0 (\frac{1}{5}))$

Schritt 6.2.5

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{5}$ .

$V = \frac{π}{81} \cdot (\frac{243}{5} + 0)$

Schritt 6.2.6

Addiere $\frac{243}{5}$ und $0$ .

$V = \frac{π}{81} \cdot \frac{243}{5}$

Schritt 6.2.7

Mutltipliziere $\frac{π}{81}$ mit $\frac{243}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 243}{81 \cdot 5}$

Schritt 6.2.8

Mutltipliziere $81$ mit $5$ .

$V = \frac{π \cdot 243}{405}$

Schritt 6.2.9

Bringe $243$ auf die linke Seite von $π$ .

$V = \frac{243 \cdot π}{405}$

Schritt 6.2.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $243$ und $405$ .

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Schritt 6.2.10.1

Faktorisiere $81$ aus $243 π$ heraus.

$V = \frac{81 (3 π)}{405}$

Schritt 6.2.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.10.2.1

Faktorisiere $81$ aus $405$ heraus.

$V = \frac{81 (3 π)}{81 (5)}$

Schritt 6.2.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = \frac{81 (3 π)}{81 \cdot 5}$

Schritt 6.2.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = \frac{3 π}{5}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$V = \frac{3 π}{5}$

Dezimalform:

$V = 1.88495559 \dots$

Schritt 8