Analysis Beispiele

$y = x + 1$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 7$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (x)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{7} {(f (x))}^{2} d x$ , wobei $f (x) = x + 1$

Schritt 2

Vereinfache den Integranden.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(x + 1)}^{2}$ als $(x + 1) (x + 1)$ um.

$V = (x + 1) (x + 1)$

Schritt 2.2

Multipliziere $(x + 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$V = x (x + 1) + 1 (x + 1)$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$V = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$V = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$V = x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$V = x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$V = x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$V = x^{2} + x + x + 1$

Schritt 2.3.2

Addiere $x$ und $x$ .

$V = x^{2} + 2 x + 1$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$V = π (\int_{0}^{7} x^{2} d x + \int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} d x)$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{7} + \int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} d x)$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + \int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} d x)$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 \int_{0}^{7} x d x + \int_{0}^{7} d x)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} d x)$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} d x)$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + x]_{0}^{7})$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7}$ und $x]_{0}^{7}$ .

$V = π (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + \frac{x^{3}}{3} + x]_{0}^{7})$

Schritt 10.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $7$ und $0$ .

$V = π (2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{x^{3}}{3} + x]_{0}^{7})$

Schritt 10.2.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3} + x$ bei $7$ und $0$ .

$V = π (2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Schritt 10.2.3

Vereinfache.

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Schritt 10.2.3.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Schritt 10.2.3.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{0}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Schritt 10.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 10.2.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Schritt 10.2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Schritt 10.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Schritt 10.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{0}{1}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Schritt 10.2.3.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - 0) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Schritt 10.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} + 0) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Schritt 10.2.3.5

Addiere $\frac{49}{2}$ und $0$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Schritt 10.2.3.6

Kombiniere $2$ und $\frac{49}{2}$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Schritt 10.2.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $49$ .

$V = π (\frac{98}{2} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Schritt 10.2.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $98$ und $2$ .

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Schritt 10.2.3.8.1

Faktorisiere $2$ aus $98$ heraus.

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Schritt 10.2.3.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.3.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2 (1)} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Schritt 10.2.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2 \cdot 1} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Schritt 10.2.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (\frac{49}{1} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Schritt 10.2.3.8.2.4

Dividiere $49$ durch $1$ .

$V = π (49 + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Schritt 10.2.3.9

Potenziere $7$ mit $3$ .

$V = π (49 + \frac{343}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Schritt 10.2.3.10

Um $7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$V = π (49 + \frac{343}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Schritt 10.2.3.11

Kombiniere $7$ und $\frac{3}{3}$ .

$V = π (49 + \frac{343}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Schritt 10.2.3.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (49 + \frac{343 + 7 \cdot 3}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Schritt 10.2.3.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.3.13.1

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$V = π (49 + \frac{343 + 21}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Schritt 10.2.3.13.2

Addiere $343$ und $21$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Schritt 10.2.3.14

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{0}{3} + 0))$

Schritt 10.2.3.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 10.2.3.15.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{3 (0)}{3} + 0))$

Schritt 10.2.3.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.3.15.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + 0))$

Schritt 10.2.3.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + 0))$

Schritt 10.2.3.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{0}{1} + 0))$

Schritt 10.2.3.15.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (0 + 0))$

Schritt 10.2.3.16

Addiere $0$ und $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - 0)$

Schritt 10.2.3.17

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} + 0)$

Schritt 10.2.3.18

Addiere $\frac{364}{3}$ und $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3})$

Schritt 10.2.3.19

Um $49$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$V = π (49 \cdot \frac{3}{3} + \frac{364}{3})$

Schritt 10.2.3.20

Kombiniere $49$ und $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{49 \cdot 3}{3} + \frac{364}{3})$

Schritt 10.2.3.21

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{49 \cdot 3 + 364}{3})$

Schritt 10.2.3.22

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.3.22.1

Mutltipliziere $49$ mit $3$ .

$V = π (\frac{147 + 364}{3})$

Schritt 10.2.3.22.2

Addiere $147$ und $364$ .

$V = π (\frac{511}{3})$

Schritt 10.2.3.23

Kombiniere $π$ und $\frac{511}{3}$ .

$V = \frac{π \cdot 511}{3}$

Schritt 10.2.3.24

Bringe $511$ auf die linke Seite von $π$ .

$V = \frac{511 π}{3}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$V = \frac{511 π}{3}$

Dezimalform:

$V = 535.11794866 \dots$

Schritt 12