Analysis Beispiele

$y = x^{\frac{3}{2}}$ , $y = 8$ , $x = 0$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (x)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{4} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ , wobei $f (x) = 8$ und $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$V = 64 - {(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 64 - x^{\frac{3}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = 64 - x^{\frac{3}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$V = 64 - x^{3}$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$V = π (\int_{0}^{4} 64 d x + \int_{0}^{4} - x^{3} d x)$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$V = π (64 x]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} - x^{3} d x)$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$V = π (64 x]_{0}^{4} - \int_{0}^{4} x^{3} d x)$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$V = π (64 x]_{0}^{4} - (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4}))$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$V = π (64 x]_{0}^{4} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}))$

Schritt 7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Berechne $64 x$ bei $4$ und $0$ .

$V = π ((64 \cdot 4) - 64 \cdot 0 - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}))$

Schritt 7.2.2

Berechne $\frac{x^{4}}{4}$ bei $4$ und $0$ .

$V = π (64 \cdot 4 - 64 \cdot 0 - (\frac{4^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $64$ mit $4$ .

$V = π (256 - 64 \cdot 0 - (\frac{4^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $- 64$ mit $0$ .

$V = π (256 + 0 - (\frac{4^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 7.2.3.3

Addiere $256$ und $0$ .

$V = π (256 - (\frac{4^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 7.2.3.4

Potenziere $4$ mit $4$ .

$V = π (256 - (\frac{256}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 7.2.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $256$ und $4$ .

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Schritt 7.2.3.5.1

Faktorisiere $4$ aus $256$ heraus.

$V = π (256 - (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 7.2.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$V = π (256 - (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 7.2.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (256 - (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 7.2.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (256 - (\frac{64}{1} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 7.2.3.5.2.4

Dividiere $64$ durch $1$ .

$V = π (256 - (64 - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 7.2.3.6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$V = π (256 - (64 - \frac{0}{4}))$

Schritt 7.2.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

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Schritt 7.2.3.7.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$V = π (256 - (64 - \frac{4 (0)}{4}))$

Schritt 7.2.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.7.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$V = π (256 - (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Schritt 7.2.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (256 - (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Schritt 7.2.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (256 - (64 - \frac{0}{1}))$

Schritt 7.2.3.7.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$V = π (256 - (64 - 0))$

Schritt 7.2.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$V = π (256 - (64 + 0))$

Schritt 7.2.3.9

Addiere $64$ und $0$ .

$V = π (256 - 1 \cdot 64)$

Schritt 7.2.3.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$V = π (256 - 64)$

Schritt 7.2.3.11

Subtrahiere $64$ von $256$ .

$V = π \cdot 192$

Schritt 7.2.3.12

Bringe $192$ auf die linke Seite von $π$ .

$V = 192 π$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$V = 192 π$

Dezimalform:

$V = 603.18578948 \dots$

Schritt 9