Analysis Beispiele

$y = 9 - 9 x^{2}$ , $y = 0$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (x)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 1}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ , wobei $f (x) = - 9 x^{2} + 9$

Schritt 2

Vereinfache den Integranden.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(- 9 x^{2} + 9)}^{2}$ als $(- 9 x^{2} + 9) (- 9 x^{2} + 9)$ um.

$V = (- 9 x^{2} + 9) (- 9 x^{2} + 9)$

Schritt 2.2

Multipliziere $(- 9 x^{2} + 9) (- 9 x^{2} + 9)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$V = - 9 x^{2} (- 9 x^{2} + 9) + 9 (- 9 x^{2} + 9)$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$V = - 9 x^{2} (- 9 x^{2}) - 9 x^{2} \cdot 9 + 9 (- 9 x^{2} + 9)$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$V = - 9 x^{2} (- 9 x^{2}) - 9 x^{2} \cdot 9 + 9 (- 9 x^{2}) + 9 \cdot 9$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$V = - 9 \cdot (- 9 x^{2} x^{2}) - 9 x^{2} \cdot 9 + 9 (- 9 x^{2}) + 9 \cdot 9$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$V = - 9 \cdot (- 9 (x^{2} x^{2})) - 9 x^{2} \cdot 9 + 9 (- 9 x^{2}) + 9 \cdot 9$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$V = - 9 \cdot (- 9 x^{2 + 2}) - 9 x^{2} \cdot 9 + 9 (- 9 x^{2}) + 9 \cdot 9$

Schritt 2.3.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$V = - 9 \cdot (- 9 x^{4}) - 9 x^{2} \cdot 9 + 9 (- 9 x^{2}) + 9 \cdot 9$

Schritt 2.3.1.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 9$ .

$V = 81 x^{4} - 9 x^{2} \cdot 9 + 9 (- 9 x^{2}) + 9 \cdot 9$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $9$ mit $- 9$ .

$V = 81 x^{4} - 81 x^{2} + 9 (- 9 x^{2}) + 9 \cdot 9$

Schritt 2.3.1.5

Mutltipliziere $- 9$ mit $9$ .

$V = 81 x^{4} - 81 x^{2} - 81 x^{2} + 9 \cdot 9$

Schritt 2.3.1.6

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$V = 81 x^{4} - 81 x^{2} - 81 x^{2} + 81$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $81 x^{2}$ von $- 81 x^{2}$ .

$V = 81 x^{4} - 162 x^{2} + 81$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$V = π (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} - 162 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 81 d x)$

Schritt 4

Da $81$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $81$ aus dem Integral.

$V = π (81 \int_{- 1}^{1} x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} - 162 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 81 d x)$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (81 (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 162 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 81 d x)$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 162 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 81 d x)$

Schritt 7

Da $- 162$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 162$ aus dem Integral.

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) - 162 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 81 d x)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) - 162 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 81 d x)$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) - 162 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 81 d x)$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) - 162 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + 81 x]_{- 1}^{1})$

Schritt 11

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 11.1

Berechne $\frac{x^{5}}{5}$ bei $1$ und $- 1$ .

$V = π (81 ((\frac{1^{5}}{5}) - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - 162 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + 81 x]_{- 1}^{1})$

Schritt 11.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $1$ und $- 1$ .

$V = π (81 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - 162 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 81 x]_{- 1}^{1})$

Schritt 11.3

Berechne $81 x$ bei $1$ und $- 1$ .

$V = π (81 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - 162 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Schritt 11.4

Vereinfache.

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Schritt 11.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$V = π (81 (\frac{1}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - 162 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.2

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$V = π (81 (\frac{1}{5} - \frac{- 1}{5}) - 162 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V = π (81 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) - 162 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$V = π (81 (\frac{1}{5} + 1 (\frac{1}{5})) - 162 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.5

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $1$ .

$V = π (81 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) - 162 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (81 (\frac{1 + 1}{5}) - 162 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.7

Addiere $1$ und $1$ .

$V = π (81 (\frac{2}{5}) - 162 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.8

Kombiniere $81$ und $\frac{2}{5}$ .

$V = π (\frac{81 \cdot 2}{5} - 162 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.9

Mutltipliziere $81$ mit $2$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 162 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$V = π (\frac{162}{5} - 162 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.11

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 162 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V = π (\frac{162}{5} - 162 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 162 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.14

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 162 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{162}{5} - 162 \frac{1 + 1}{3} + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.16

Addiere $1$ und $1$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 162 (\frac{2}{3}) + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.17

Kombiniere $- 162$ und $\frac{2}{3}$ .

$V = π (\frac{162}{5} + \frac{- 162 \cdot 2}{3} + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.18

Mutltipliziere $- 162$ mit $2$ .

$V = π (\frac{162}{5} + \frac{- 324}{3} + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.19

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 324$ und $3$ .

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Schritt 11.4.19.1

Faktorisiere $3$ aus $- 324$ heraus.

$V = π (\frac{162}{5} + \frac{3 \cdot - 108}{3} + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.19.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.4.19.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$V = π (\frac{162}{5} + \frac{3 \cdot - 108}{3 (1)} + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.19.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (\frac{162}{5} + \frac{3 \cdot - 108}{3 \cdot 1} + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.19.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (\frac{162}{5} + \frac{- 108}{1} + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.19.2.4

Dividiere $- 108$ durch $1$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 108 + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.20

Um $- 108$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 108 \cdot \frac{5}{5} + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.21

Kombiniere $- 108$ und $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{162}{5} + \frac{- 108 \cdot 5}{5} + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{162 - 108 \cdot 5}{5} + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.23

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.4.23.1

Mutltipliziere $- 108$ mit $5$ .

$V = π (\frac{162 - 540}{5} + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.23.2

Subtrahiere $540$ von $162$ .

$V = π (\frac{- 378}{5} + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.24

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V = π (- \frac{378}{5} + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.25

Mutltipliziere $81$ mit $1$ .

$V = π (- \frac{378}{5} + 81 - 81 \cdot - 1)$

Schritt 11.4.26

Mutltipliziere $- 81$ mit $- 1$ .

$V = π (- \frac{378}{5} + 81 + 81)$

Schritt 11.4.27

Addiere $81$ und $81$ .

$V = π (- \frac{378}{5} + 162)$

Schritt 11.4.28

Um $162$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$V = π (- \frac{378}{5} + 162 \cdot \frac{5}{5})$

Schritt 11.4.29

Kombiniere $162$ und $\frac{5}{5}$ .

$V = π (- \frac{378}{5} + \frac{162 \cdot 5}{5})$

Schritt 11.4.30

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{- 378 + 162 \cdot 5}{5})$

Schritt 11.4.31

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.4.31.1

Mutltipliziere $162$ mit $5$ .

$V = π (\frac{- 378 + 810}{5})$

Schritt 11.4.31.2

Addiere $- 378$ und $810$ .

$V = π (\frac{432}{5})$

Schritt 11.4.32

Kombiniere $π$ und $\frac{432}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 432}{5}$

Schritt 11.4.33

Bringe $432$ auf die linke Seite von $π$ .

$V = \frac{432 π}{5}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$V = \frac{432 π}{5}$

Dezimalform:

$V = 271.43360527 \dots$

Schritt 13