Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2}{x^{2} - 25}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x^{2} - 25}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 25}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 25}]$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2} - 25}$ als ${(x^{2} - 25)}^{- 1}$ um.

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{- 1}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2} - 25$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 25$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 25$ .

$2 (- {(x^{2} - 25)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 ({(x^{2} - 25)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Schritt 1.1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$- 2 {(x^{2} - 25)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25])$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 {(x^{2} - 25)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 25])$

Schritt 1.1.3.4

Da $- 25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 2 {(x^{2} - 25)}^{- 2} (2 x + 0)$

Schritt 1.1.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$- 2 {(x^{2} - 25)}^{- 2} (2 x)$

Schritt 1.1.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 4 {(x^{2} - 25)}^{- 2} x$

Schritt 1.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{{(x^{2} - 25)}^{2}} x$

Schritt 1.1.5

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.5.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$ .

$\frac{- 4}{{(x^{2} - 25)}^{2}} x$

Schritt 1.1.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{{(x^{2} - 25)}^{2}} x$

Schritt 1.1.5.3

Kombiniere $x$ und $\frac{4}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 4}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.5.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{4 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$ .

$- \frac{4 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{4 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{4 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$4 x = 0$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x = 0$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0$ .

$0$

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{4 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x^{2} - 25)}^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

${(x^{2} - 5^{2})}^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

${((x + 5) (x - 5))}^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.3

Wende die Produktregel auf $(x + 5) (x - 5)$ an.

${(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

${(x - 5)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.3

Setze ${(x + 5)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.3.1

Setze ${(x + 5)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.3.2

Löse ${(x + 5)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.3.2.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 4.2.3.2.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 4.2.4

Setze ${(x - 5)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.4.1

Setze ${(x - 5)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 5)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.4.2

Löse ${(x - 5)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.4.2.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 4.2.4.2.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 4.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = - 5, 5$

Schritt 4.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 5, x = 5$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 0) \cup (0, 5) \cup (5, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 5)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f' (- 6) = - \frac{4 (- 6)}{{({(- 6)}^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 6$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 24}{{({(- 6)}^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 24}{{(36 - 25)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $25$ von $36$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 24}{11^{2}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $11$ mit $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 24}{121}$

Schritt 6.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 6) = \frac{24}{121}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{24}{121}$ .

$\frac{24}{121}$

Schritt 6.3

Bei $x = - 6$ ist die Ableitung $\frac{24}{121}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 5)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 5)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 5, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{4 (- \frac{5}{2})}{{({(- \frac{5}{2})}^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{- 4 (\frac{5}{2})}{{({(- \frac{5}{2})}^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{({(- \frac{5}{2})}^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 7.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{5}{2}$ an.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}}) - 25)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{(1 (\frac{5^{2}}{2^{2}}) - 25)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5^{2}}{2^{2}} - 25)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25}{2^{2}} - 25)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25}{4} - 25)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.6

Um $- 25$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25}{4} - 25 \cdot \frac{4}{4})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.7

Kombiniere $- 25$ und $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25}{4} + \frac{- 25 \cdot 4}{4})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25 - 25 \cdot 4}{4})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.2.9.1

Mutltipliziere $- 25$ mit $4$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25 - 100}{4})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.9.2

Subtrahiere $100$ von $25$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{- 75}{4})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{(- \frac{75}{4})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.11

Wende die Produktregel auf $- \frac{75}{4}$ an.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{75}{4})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.12

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{1 {(\frac{75}{4})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.13

Wende die Produktregel auf $\frac{75}{4}$ an.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{1 (\frac{75^{2}}{4^{2}})}$

Schritt 7.2.2.14

Potenziere $75$ mit $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{1 (\frac{5625}{4^{2}})}$

Schritt 7.2.2.15

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{1 (\frac{5625}{16})}$

Schritt 7.2.2.16

Mutltipliziere $\frac{5625}{16}$ mit $1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{16}}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 20}{2}}{\frac{5625}{16}}$

Schritt 7.2.3.2

Dividiere $- 20$ durch $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{- 10}{\frac{5625}{16}}$

Schritt 7.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (- \frac{5}{2}) = - (- 10 (\frac{16}{5625}))$

Schritt 7.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 7.2.5.1

Faktorisiere $5$ aus $- 10$ heraus.

$f' (- \frac{5}{2}) = - (5 (- 2) (\frac{16}{5625}))$

Schritt 7.2.5.2

Faktorisiere $5$ aus $5625$ heraus.

$f' (- \frac{5}{2}) = - (5 \cdot (- 2 \frac{16}{5 \cdot 1125}))$

Schritt 7.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- \frac{5}{2}) = - (5 \cdot (- 2 \frac{16}{5 \cdot 1125}))$

Schritt 7.2.5.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (- \frac{5}{2}) = - (- 2 (\frac{16}{1125}))$

Schritt 7.2.6

Kombiniere $- 2$ und $\frac{16}{1125}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{- 2 \cdot 16}{1125}$

Schritt 7.2.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.7.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $16$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{- 32}{1125}$

Schritt 7.2.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{32}{1125}$

Schritt 7.2.8

Die endgültige Lösung ist $\frac{32}{1125}$ .

$\frac{32}{1125}$

Schritt 7.3

Bei $x = - \frac{5}{2}$ ist die Ableitung $\frac{32}{1125}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 5, 0)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 5, 0)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 5)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{4 (\frac{5}{2})}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5^{2}}{2^{2}} - 25)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25}{2^{2}} - 25)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25}{4} - 25)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.4

Um $- 25$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25}{4} - 25 \cdot \frac{4}{4})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.5

Kombiniere $- 25$ und $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25}{4} + \frac{- 25 \cdot 4}{4})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25 - 25 \cdot 4}{4})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.2.7.1

Mutltipliziere $- 25$ mit $4$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25 - 100}{4})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.7.2

Subtrahiere $100$ von $25$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{- 75}{4})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{{(- \frac{75}{4})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.9

Wende die Produktregel auf $- \frac{75}{4}$ an.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{75}{4})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.10

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{1 {(\frac{75}{4})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.11

Wende die Produktregel auf $\frac{75}{4}$ an.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{1 (\frac{75^{2}}{4^{2}})}$

Schritt 8.2.2.12

Potenziere $75$ mit $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{1 (\frac{5625}{4^{2}})}$

Schritt 8.2.2.13

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{1 (\frac{5625}{16})}$

Schritt 8.2.2.14

Mutltipliziere $\frac{5625}{16}$ mit $1$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{16}}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{20}{2}}{\frac{5625}{16}}$

Schritt 8.2.3.2

Dividiere $20$ durch $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{10}{\frac{5625}{16}}$

Schritt 8.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (\frac{5}{2}) = - (10 (\frac{16}{5625}))$

Schritt 8.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 8.2.5.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$f' (\frac{5}{2}) = - (5 (2) (\frac{16}{5625}))$

Schritt 8.2.5.2

Faktorisiere $5$ aus $5625$ heraus.

$f' (\frac{5}{2}) = - (5 \cdot (2 (\frac{16}{5 \cdot 1125})))$

Schritt 8.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{5}{2}) = - (5 \cdot (2 (\frac{16}{5 \cdot 1125})))$

Schritt 8.2.5.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{5}{2}) = - (2 (\frac{16}{1125}))$

Schritt 8.2.6

Kombiniere $2$ und $\frac{16}{1125}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{2 \cdot 16}{1125}$

Schritt 8.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{32}{1125}$

Schritt 8.2.8

Die endgültige Lösung ist $- \frac{32}{1125}$ .

$- \frac{32}{1125}$

Schritt 8.3

Bei $x = \frac{5}{2}$ ist die Ableitung $- \frac{32}{1125}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, 5)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, 5)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(5, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f' (6) = - \frac{4 (6)}{{({(6)}^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$f' (6) = - \frac{24}{{(6^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.2.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f' (6) = - \frac{24}{{(36 - 25)}^{2}}$

Schritt 9.2.2.2

Subtrahiere $25$ von $36$ .

$f' (6) = - \frac{24}{11^{2}}$

Schritt 9.2.2.3

Potenziere $11$ mit $2$ .

$f' (6) = - \frac{24}{121}$

Schritt 9.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{24}{121}$ .

$- \frac{24}{121}$

Schritt 9.3

Bei $x = 6$ ist die Ableitung $- \frac{24}{121}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(5, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(5, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 10

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - 5), (- 5, 0)$

Abfallend im Intervall: $(0, 5), (5, \infty)$

Schritt 11