Analysis Beispiele

$f (x) = 32 + \frac{36 x^{2}}{x^{2} + 191}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $32 + \frac{36 x^{2}}{x^{2} + 191}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [32] + \frac{d}{d x} [\frac{36 x^{2}}{x^{2} + 191}]$ .

$\frac{d}{d x} [32] + \frac{d}{d x} [\frac{36 x^{2}}{x^{2} + 191}]$

Schritt 1.1.1.2

Da $32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $32$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{36 x^{2}}{x^{2} + 191}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{36 x^{2}}{x^{2} + 191}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{36 x^{2}}{x^{2} + 191}$ nach $x$ gleich $36 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 191}]$ .

$0 + 36 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 191}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 191$ .

$0 + 36 \frac{(x^{2} + 191) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 191]}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 36 \frac{(x^{2} + 191) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 191]}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 191$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [191]$ .

$0 + 36 \frac{(x^{2} + 191) (2 x) - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [191])}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 36 \frac{(x^{2} + 191) (2 x) - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [191])}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Da $191$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $191$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + 36 \frac{(x^{2} + 191) (2 x) - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + 191$ .

$0 + 36 \frac{2 \cdot (x^{2} + 191) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8

Addiere $2 x$ und $0$ .

$0 + 36 \frac{2 (x^{2} + 191) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 + 36 \frac{2 (x^{2} + 191) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.10

Potenziere $x$ mit $1$ .

$0 + 36 \frac{2 (x^{2} + 191) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$0 + 36 \frac{2 (x^{2} + 191) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.12

Addiere $1$ und $2$ .

$0 + 36 \frac{2 (x^{2} + 191) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.13

Kombiniere $36$ und $\frac{2 (x^{2} + 191) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$ .

$0 + \frac{36 (2 (x^{2} + 191) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$0 + \frac{36 ((2 x^{2} + 2 \cdot 191) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$0 + \frac{36 (2 x^{2} x + 2 \cdot 191 x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$0 + \frac{36 (2 x^{2} x) + 36 (2 \cdot 191 x) + 36 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.3.4.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$0 + \frac{36 (2 (x^{1} x^{2})) + 36 (2 \cdot 191 x) + 36 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$0 + \frac{36 (2 x^{1 + 2}) + 36 (2 \cdot 191 x) + 36 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$0 + \frac{36 (2 x^{3}) + 36 (2 \cdot 191 x) + 36 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $36$ .

$0 + \frac{72 x^{3} + 36 (2 \cdot 191 x) + 36 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $191$ .

$0 + \frac{72 x^{3} + 36 (382 x) + 36 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.6

Mutltipliziere $382$ mit $36$ .

$0 + \frac{72 x^{3} + 13752 x + 36 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $36$ .

$0 + \frac{72 x^{3} + 13752 x - 72 x^{3}}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.8

Subtrahiere $72 x^{3}$ von $72 x^{3}$ .

$0 + \frac{13752 x + 0}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.9

Addiere $13752 x$ und $0$ .

$0 + \frac{13752 x}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.10

Addiere $0$ und $\frac{13752 x}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{13752 x}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{13752 x}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$ .

$\frac{13752 x}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{13752 x}{{(x^{2} + 191)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{13752 x}{{(x^{2} + 191)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$13752 x = 0$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $13752 x = 0$ durch $13752$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $13752 x = 0$ durch $13752$ .

$\frac{13752 x}{13752} = \frac{0}{13752}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $13752$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{13752 x}{13752} = \frac{0}{13752}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{13752}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $13752$ .

$x = 0$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0$ .

$0$

Schritt 4

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = \frac{13752 x}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = 32 + \frac{36 x^{2}}{x^{2} + 191}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{13752 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 191)}^{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $13752$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 13752}{{({(- 1)}^{2} + 191)}^{2}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 13752}{{(1 + 191)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $1$ und $191$ .

$f' (- 1) = \frac{- 13752}{192^{2}}$

Schritt 5.2.2.3

Potenziere $192$ mit $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 13752}{36864}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 13752$ und $36864$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $72$ aus $- 13752$ heraus.

$f' (- 1) = \frac{72 (- 191)}{36864}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $72$ aus $36864$ heraus.

$f' (- 1) = \frac{72 \cdot - 191}{72 \cdot 512}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- 1) = \frac{72 \cdot - 191}{72 \cdot 512}$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (- 1) = \frac{- 191}{512}$

Schritt 5.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 1) = - \frac{191}{512}$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{191}{512}$ .

$- \frac{191}{512}$

Schritt 5.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $- \frac{191}{512}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, 0)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = \frac{13752 (1)}{{({(1)}^{2} + 191)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $13752$ mit $1$ .

$f' (1) = \frac{13752}{{(1^{2} + 191)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = \frac{13752}{{(1 + 191)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $1$ und $191$ .

$f' (1) = \frac{13752}{192^{2}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $192$ mit $2$ .

$f' (1) = \frac{13752}{36864}$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $13752$ und $36864$ .

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Schritt 6.2.3.1

Faktorisiere $72$ aus $13752$ heraus.

$f' (1) = \frac{72 (191)}{36864}$

Schritt 6.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.2.1

Faktorisiere $72$ aus $36864$ heraus.

$f' (1) = \frac{72 \cdot 191}{72 \cdot 512}$

Schritt 6.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (1) = \frac{72 \cdot 191}{72 \cdot 512}$

Schritt 6.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (1) = \frac{191}{512}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{191}{512}$ .

$\frac{191}{512}$

Schritt 6.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $\frac{191}{512}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(0, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(0, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(0, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, 0)$

Schritt 8