Analysis Beispiele

$f (t) = \frac{6}{81 - t^{2}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Da $6$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6}{81 - t^{2}}$ nach $t$ gleich $6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{81 - t^{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{81 - t^{2}}]$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $\frac{1}{81 - t^{2}}$ als ${(81 - t^{2})}^{- 1}$ um.

$6 \frac{d}{d t} [{(81 - t^{2})}^{- 1}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 1}$ und $g (t) = 81 - t^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $81 - t^{2}$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [81 - t^{2}])$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$6 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [81 - t^{2}])$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $81 - t^{2}$ .

$6 (- {(81 - t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [81 - t^{2}])$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$- 6 ({(81 - t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [81 - t^{2}])$

Schritt 1.1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $81 - t^{2}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [81] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$- 6 {(81 - t^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [81] + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Schritt 1.1.3.3

Da $81$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $81$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$- 6 {(81 - t^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Schritt 1.1.3.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$- 6 {(81 - t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Schritt 1.1.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t^{2}$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- 6 {(81 - t^{2})}^{- 2} (- \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Schritt 1.1.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$6 {(81 - t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 1.1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 {(81 - t^{2})}^{- 2} (2 t)$

Schritt 1.1.3.8

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$12 {(81 - t^{2})}^{- 2} t$

Schritt 1.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 \frac{1}{{(81 - t^{2})}^{2}} t$

Schritt 1.1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.5.1

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.5.1.1

Kombiniere $12$ und $\frac{1}{{(81 - t^{2})}^{2}}$ .

$\frac{12}{{(81 - t^{2})}^{2}} t$

Schritt 1.1.5.1.2

Kombiniere $\frac{12}{{(81 - t^{2})}^{2}}$ und $t$ .

$\frac{12 t}{{(81 - t^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.5.2

Stelle die Terme um.

$f' (t) = \frac{12 t}{{(- t^{2} + 81)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (t)$ nach $t$ ist $\frac{12 t}{{(- t^{2} + 81)}^{2}}$ .

$\frac{12 t}{{(- t^{2} + 81)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{12 t}{{(- t^{2} + 81)}^{2}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{12 t}{{(- t^{2} + 81)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$12 t = 0$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $12 t = 0$ durch $12$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $12 t = 0$ durch $12$ .

$\frac{12 t}{12} = \frac{0}{12}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 t}{12} = \frac{0}{12}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{0}{12}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $12$ .

$t = 0$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0$ .

$0$

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{12 t}{{(- t^{2} + 81)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(- t^{2} + 81)}^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $t$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- t^{2} + 81$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- t^{2}$ heraus.

${(- (t^{2}) + 81)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.1.2

Schreibe $81$ als $- 1 (- 81)$ um.

${(- (t^{2}) - 1 \cdot - 81)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (t^{2}) - 1 (- 81)$ heraus.

${(- (t^{2} - 81))}^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

${(- (t^{2} - 9^{2}))}^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.3

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = t$ und $b = 9$ .

${(- ((t + 9) (t - 9)))}^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

${(- (t + 9) (t - 9))}^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.4

Wende die Produktregel auf $- (t + 9) (t - 9)$ an.

${(- (t + 9))}^{2} {(t - 9)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.5

Wende die Produktregel auf $- (t + 9)$ an.

${(- 1)}^{2} {(t + 9)}^{2} {(t - 9)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(t + 9)}^{2} = 0$

${(t - 9)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.3

Setze ${(t + 9)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Setze ${(t + 9)}^{2}$ gleich $0$ .

${(t + 9)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.3.2

Löse ${(t + 9)}^{2} = 0$ nach $t$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.2.1

Setze $t + 9$ gleich $0$ .

$t + 9 = 0$

Schritt 4.2.3.2.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$t = - 9$

Schritt 4.2.4

Setze ${(t - 9)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Setze ${(t - 9)}^{2}$ gleich $0$ .

${(t - 9)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.4.2

Löse ${(t - 9)}^{2} = 0$ nach $t$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.2.1

Setze $t - 9$ gleich $0$ .

$t - 9 = 0$

Schritt 4.2.4.2.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$t = 9$

Schritt 4.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(- 1)}^{2} {(t + 9)}^{2} {(t - 9)}^{2} = 0$ wahr machen.

$t = - 9, 9$

Schritt 4.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$t = - 9, t = 9$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $t$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, 0) \cup (0, 9) \cup (9, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 9)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $- 10$ .

$f' (- 10) = \frac{12 (- 10)}{{(- {(- 10)}^{2} + 81)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $12$ mit $- 10$ .

$f' (- 10) = \frac{- 120}{{(- {(- 10)}^{2} + 81)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$f' (- 10) = \frac{- 120}{{(- 1 \cdot 100 + 81)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $100$ .

$f' (- 10) = \frac{- 120}{{(- 100 + 81)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.3

Addiere $- 100$ und $81$ .

$f' (- 10) = \frac{- 120}{{(- 19)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.4

Potenziere $- 19$ mit $2$ .

$f' (- 10) = \frac{- 120}{361}$

Schritt 6.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 10) = - \frac{120}{361}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{120}{361}$ .

$- \frac{120}{361}$

Schritt 6.3

Bei $t = - 10$ ist die Ableitung $- \frac{120}{361}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 9)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 9)$ da $f' (t) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 9, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $- \frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{12 (- \frac{9}{2})}{{(- {(- \frac{9}{2})}^{2} + 81)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 12 (\frac{9}{2})}{{(- {(- \frac{9}{2})}^{2} + 81)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Kombiniere $- 12$ und $\frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{\frac{- 12 \cdot 9}{2}}{{(- {(- \frac{9}{2})}^{2} + 81)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{9}{2}$ an.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{\frac{- 12 \cdot 9}{2}}{{(- ({(- 1)}^{2} {(\frac{9}{2})}^{2}) + 81)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{9}{2}$ an.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{\frac{- 12 \cdot 9}{2}}{{(- ({(- 1)}^{2} (\frac{9^{2}}{2^{2}})) + 81)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.2.1

Bewege ${(- 1)}^{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{\frac{- 12 \cdot 9}{2}}{{({(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{9^{2}}{2^{2}}) + 81)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{2}$ mit $- 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{\frac{- 12 \cdot 9}{2}}{{({(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{9^{2}}{2^{2}})) + 81)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{\frac{- 12 \cdot 9}{2}}{{({(- 1)}^{2 + 1} (\frac{9^{2}}{2^{2}}) + 81)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{\frac{- 12 \cdot 9}{2}}{{({(- 1)}^{3} (\frac{9^{2}}{2^{2}}) + 81)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{\frac{- 12 \cdot 9}{2}}{{(- \frac{9^{2}}{2^{2}} + 81)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.4

Potenziere $9$ mit $2$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{\frac{- 12 \cdot 9}{2}}{{(- \frac{81}{2^{2}} + 81)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{\frac{- 12 \cdot 9}{2}}{{(- \frac{81}{4} + 81)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.6

Um $81$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{\frac{- 12 \cdot 9}{2}}{{(- \frac{81}{4} + 81 \cdot \frac{4}{4})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.7

Kombiniere $81$ und $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{\frac{- 12 \cdot 9}{2}}{{(- \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 4}{4})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{\frac{- 12 \cdot 9}{2}}{{(\frac{- 81 + 81 \cdot 4}{4})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.9.1

Mutltipliziere $81$ mit $4$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{\frac{- 12 \cdot 9}{2}}{{(\frac{- 81 + 324}{4})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.9.2

Addiere $- 81$ und $324$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{\frac{- 12 \cdot 9}{2}}{{(\frac{243}{4})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.10

Wende die Produktregel auf $\frac{243}{4}$ an.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{\frac{- 12 \cdot 9}{2}}{\frac{243^{2}}{4^{2}}}$

Schritt 7.2.2.11

Potenziere $243$ mit $2$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{\frac{- 12 \cdot 9}{2}}{\frac{59049}{4^{2}}}$

Schritt 7.2.2.12

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{\frac{- 12 \cdot 9}{2}}{\frac{59049}{16}}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $- 12$ mit $9$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{\frac{- 108}{2}}{\frac{59049}{16}}$

Schritt 7.2.3.2

Dividiere $- 108$ durch $2$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 54}{\frac{59049}{16}}$

Schritt 7.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (- \frac{9}{2}) = - 54 (\frac{16}{59049})$

Schritt 7.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.5.1

Faktorisiere $27$ aus $- 54$ heraus.

$f' (- \frac{9}{2}) = 27 (- 2) (\frac{16}{59049})$

Schritt 7.2.5.2

Faktorisiere $27$ aus $59049$ heraus.

$f' (- \frac{9}{2}) = 27 \cdot (- 2 \frac{16}{27 \cdot 2187})$

Schritt 7.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- \frac{9}{2}) = 27 \cdot (- 2 \frac{16}{27 \cdot 2187})$

Schritt 7.2.5.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (- \frac{9}{2}) = - 2 (\frac{16}{2187})$

Schritt 7.2.6

Kombiniere $- 2$ und $\frac{16}{2187}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 2 \cdot 16}{2187}$

Schritt 7.2.7

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.7.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $16$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 32}{2187}$

Schritt 7.2.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{32}{2187}$

Schritt 7.2.8

Die endgültige Lösung ist $- \frac{32}{2187}$ .

$- \frac{32}{2187}$

Schritt 7.3

Bei $t = - \frac{9}{2}$ ist die Ableitung $- \frac{32}{2187}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 9, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 9, 0)$ da $f' (t) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 9)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $\frac{9}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{12 (\frac{9}{2})}{{(- {(\frac{9}{2})}^{2} + 81)}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Kombiniere $12$ und $\frac{9}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{12 \cdot 9}{2}}{{(- {(\frac{9}{2})}^{2} + 81)}^{2}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{9}{2}$ an.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{12 \cdot 9}{2}}{{(- \frac{9^{2}}{2^{2}} + 81)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.2

Potenziere $9$ mit $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{12 \cdot 9}{2}}{{(- \frac{81}{2^{2}} + 81)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{12 \cdot 9}{2}}{{(- \frac{81}{4} + 81)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.4

Um $81$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{12 \cdot 9}{2}}{{(- \frac{81}{4} + 81 \cdot \frac{4}{4})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.5

Kombiniere $81$ und $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{12 \cdot 9}{2}}{{(- \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 4}{4})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{12 \cdot 9}{2}}{{(\frac{- 81 + 81 \cdot 4}{4})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.7.1

Mutltipliziere $81$ mit $4$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{12 \cdot 9}{2}}{{(\frac{- 81 + 324}{4})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.7.2

Addiere $- 81$ und $324$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{12 \cdot 9}{2}}{{(\frac{243}{4})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.8

Wende die Produktregel auf $\frac{243}{4}$ an.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{12 \cdot 9}{2}}{\frac{243^{2}}{4^{2}}}$

Schritt 8.2.2.9

Potenziere $243$ mit $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{12 \cdot 9}{2}}{\frac{59049}{4^{2}}}$

Schritt 8.2.2.10

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{12 \cdot 9}{2}}{\frac{59049}{16}}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.1

Mutltipliziere $12$ mit $9$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{108}{2}}{\frac{59049}{16}}$

Schritt 8.2.3.2

Dividiere $108$ durch $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{54}{\frac{59049}{16}}$

Schritt 8.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (\frac{9}{2}) = 54 (\frac{16}{59049})$

Schritt 8.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.5.1

Faktorisiere $27$ aus $54$ heraus.

$f' (\frac{9}{2}) = 27 (2) (\frac{16}{59049})$

Schritt 8.2.5.2

Faktorisiere $27$ aus $59049$ heraus.

$f' (\frac{9}{2}) = 27 \cdot (2 (\frac{16}{27 \cdot 2187}))$

Schritt 8.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{9}{2}) = 27 \cdot (2 (\frac{16}{27 \cdot 2187}))$

Schritt 8.2.5.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{9}{2}) = 2 (\frac{16}{2187})$

Schritt 8.2.6

Kombiniere $2$ und $\frac{16}{2187}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{2 \cdot 16}{2187}$

Schritt 8.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{32}{2187}$

Schritt 8.2.8

Die endgültige Lösung ist $\frac{32}{2187}$ .

$\frac{32}{2187}$

Schritt 8.3

Bei $t = \frac{9}{2}$ ist die Ableitung $\frac{32}{2187}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(0, 9)$ an.

Ansteigend im Intervall $(0, 9)$ , da $f' (t) > 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(9, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $10$ .

$f' (10) = \frac{12 (10)}{{(- {(10)}^{2} + 81)}^{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $12$ mit $10$ .

$f' (10) = \frac{120}{{(- 10^{2} + 81)}^{2}}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.2.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$f' (10) = \frac{120}{{(- 1 \cdot 100 + 81)}^{2}}$

Schritt 9.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $100$ .

$f' (10) = \frac{120}{{(- 100 + 81)}^{2}}$

Schritt 9.2.2.3

Addiere $- 100$ und $81$ .

$f' (10) = \frac{120}{{(- 19)}^{2}}$

Schritt 9.2.2.4

Potenziere $- 19$ mit $2$ .

$f' (10) = \frac{120}{361}$

Schritt 9.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{120}{361}$ .

$\frac{120}{361}$

Schritt 9.3

Bei $t = 10$ ist die Ableitung $\frac{120}{361}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(9, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(9, \infty)$ , da $f' (t) > 0$

Schritt 10

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(0, 9), (9, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - 9), (- 9, 0)$

Schritt 11