Analysis Beispiele

$\sqrt{3 x y} = 2 + x^{2} y$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{3 x y}}^{2} = {(2 + x^{2} y)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x y}$ als ${(3 x y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(3 x y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 + x^{2} y)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(3 x y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + x^{2} y)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 x y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + x^{2} y)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 x y)}^{1} = {(2 + x^{2} y)}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$3 x y = {(2 + x^{2} y)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(2 + x^{2} y)}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(2 + x^{2} y)}^{2}$ als $(2 + x^{2} y) (2 + x^{2} y)$ um.

$3 x y = (2 + x^{2} y) (2 + x^{2} y)$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(2 + x^{2} y) (2 + x^{2} y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x y = 2 (2 + x^{2} y) + x^{2} y (2 + x^{2} y)$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x y = 2 \cdot 2 + 2 (x^{2} y) + x^{2} y (2 + x^{2} y)$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x y = 2 \cdot 2 + 2 (x^{2} y) + x^{2} y \cdot 2 + x^{2} y (x^{2} y)$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 x y = 4 + 2 (x^{2} y) + x^{2} y \cdot 2 + x^{2} y (x^{2} y)$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} y$ .

$3 x y = 4 + 2 x^{2} y + 2 \cdot (x^{2} y) + x^{2} y (x^{2} y)$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.3.1.3.1

Bewege $x^{2}$ .

$3 x y = 4 + 2 x^{2} y + 2 x^{2} y + x^{2} x^{2} y \cdot y$

Schritt 2.3.1.3.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x y = 4 + 2 x^{2} y + 2 x^{2} y + x^{2 + 2} y \cdot y$

Schritt 2.3.1.3.1.3.3

Addiere $2$ und $2$ .

$3 x y = 4 + 2 x^{2} y + 2 x^{2} y + x^{4} y \cdot y$

Schritt 2.3.1.3.1.4

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.3.1.4.1

Bewege $y$ .

$3 x y = 4 + 2 x^{2} y + 2 x^{2} y + x^{4} (y \cdot y)$

Schritt 2.3.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$3 x y = 4 + 2 x^{2} y + 2 x^{2} y + x^{4} y^{2}$

Schritt 2.3.1.3.2

Addiere $2 x^{2} y$ und $2 x^{2} y$ .

$3 x y = 4 + 4 x^{2} y + x^{4} y^{2}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$4 + 4 x^{2} y + x^{4} y^{2} = 3 x y$

Schritt 3.2

Subtrahiere $3 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 + 4 x^{2} y + x^{4} y^{2} - 3 x y = 0$

Schritt 3.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.4

Setze die Werte $a = x^{4}$ , $b = 4 x^{2} - 3 x$ und $c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- (4 x^{2} - 3 x) \pm \sqrt{{(4 x^{2} - 3 x)}^{2} - 4 \cdot (x^{4} \cdot 4)}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- (4 x^{2}) - (- 3 x) \pm \sqrt{{(4 x^{2} - 3 x)}^{2} - 4 \cdot x^{4} \cdot 4}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.5.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} - (- 3 x) \pm \sqrt{{(4 x^{2} - 3 x)}^{2} - 4 \cdot x^{4} \cdot 4}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.5.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{{(4 x^{2} - 3 x)}^{2} - 4 \cdot x^{4} \cdot 4}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.5.1.4

Schreibe $4 \cdot x^{4} \cdot 4$ als ${(2 \cdot x^{2} \cdot 2)}^{2}$ um.

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{{(4 x^{2} - 3 x)}^{2} - {(2 \cdot x^{2} \cdot 2)}^{2}}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.5.1.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4 x^{2} - 3 x$ und $b = 2 \cdot x^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{(4 x^{2} - 3 x + 2 \cdot x^{2} \cdot 2) (4 x^{2} - 3 x - (2 \cdot x^{2} \cdot 2))}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.5.1.6

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1.6.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{2} - 3 x + 2 \cdot x^{2} \cdot 2$ heraus.

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Schritt 3.5.1.6.1.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{(x (4 x) - 3 x + 2 \cdot x^{2} \cdot 2) (4 x^{2} - 3 x - (2 \cdot x^{2} \cdot 2))}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.5.1.6.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x$ heraus.

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{(x (4 x) + x \cdot - 3 + 2 \cdot x^{2} \cdot 2) (4 x^{2} - 3 x - (2 \cdot x^{2} \cdot 2))}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.5.1.6.1.3

Faktorisiere $x$ aus $2 \cdot x^{2} \cdot 2$ heraus.

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{(x (4 x) + x \cdot - 3 + x (2 \cdot x \cdot 2)) (4 x^{2} - 3 x - (2 \cdot x^{2} \cdot 2))}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.5.1.6.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x (4 x) + x \cdot - 3$ heraus.

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{(x (4 x - 3) + x (2 \cdot x \cdot 2)) (4 x^{2} - 3 x - (2 \cdot x^{2} \cdot 2))}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.5.1.6.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (4 x - 3) + x (2 \cdot x \cdot 2)$ heraus.

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x (4 x - 3 + 2 \cdot x \cdot 2) (4 x^{2} - 3 x - (2 \cdot x^{2} \cdot 2))}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.5.1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x (4 x - 3 + 4 x) (4 x^{2} - 3 x - (2 \cdot x^{2} \cdot 2))}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.5.1.6.3

Addiere $4 x$ und $4 x$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x (8 x - 3) (4 x^{2} - 3 x - (2 \cdot x^{2} \cdot 2))}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.5.1.6.4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.5.1.6.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x (8 x - 3) (4 x^{2} - 3 x - (4 \cdot x^{2}))}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.5.1.6.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x (8 x - 3) (4 x^{2} - 3 x - 4 x^{2})}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.5.1.7

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x^{2} - 3 x - 4 x^{2}$ .

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Schritt 3.5.1.7.1

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x (8 x - 3) (- 3 x + 0)}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.5.1.7.2

Addiere $- 3 x$ und $0$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x (8 x - 3) (- 3 x)}}{2 x^{4}}$

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x (8 x - 3) \cdot (- 3 x)}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.5.1.8

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.5.1.8.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x \cdot x (8 x - 3) \cdot - 3}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.5.1.8.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x \cdot x (8 x - 3) \cdot - 3}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.5.1.8.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x^{1 + 1} (8 x - 3) \cdot - 3}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.5.1.8.4

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x^{2} (8 x - 3) \cdot - 3}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.5.1.9

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x^{2} ((8 x - 3) \cdot - 3)}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.5.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm x \sqrt{(8 x - 3) \cdot - 3}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.5.2

Stelle die Faktoren in $\frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm x \sqrt{(8 x - 3) \cdot - 3}}{2 x^{4}}$ um.

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm x \sqrt{- 3 (8 x - 3)}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- (4 x^{2}) - (- 3 x) \pm \sqrt{{(4 x^{2} - 3 x)}^{2} - 4 \cdot x^{4} \cdot 4}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.6.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} - (- 3 x) \pm \sqrt{{(4 x^{2} - 3 x)}^{2} - 4 \cdot x^{4} \cdot 4}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.6.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{{(4 x^{2} - 3 x)}^{2} - 4 \cdot x^{4} \cdot 4}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.6.1.4

Schreibe $4 \cdot x^{4} \cdot 4$ als ${(2 \cdot x^{2} \cdot 2)}^{2}$ um.

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{{(4 x^{2} - 3 x)}^{2} - {(2 \cdot x^{2} \cdot 2)}^{2}}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.6.1.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4 x^{2} - 3 x$ und $b = 2 \cdot x^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{(4 x^{2} - 3 x + 2 \cdot x^{2} \cdot 2) (4 x^{2} - 3 x - (2 \cdot x^{2} \cdot 2))}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.6.1.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1.6.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{2} - 3 x + 2 \cdot x^{2} \cdot 2$ heraus.

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Schritt 3.6.1.6.1.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{(x (4 x) - 3 x + 2 \cdot x^{2} \cdot 2) (4 x^{2} - 3 x - (2 \cdot x^{2} \cdot 2))}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.6.1.6.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x$ heraus.

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{(x (4 x) + x \cdot - 3 + 2 \cdot x^{2} \cdot 2) (4 x^{2} - 3 x - (2 \cdot x^{2} \cdot 2))}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.6.1.6.1.3

Faktorisiere $x$ aus $2 \cdot x^{2} \cdot 2$ heraus.

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{(x (4 x) + x \cdot - 3 + x (2 \cdot x \cdot 2)) (4 x^{2} - 3 x - (2 \cdot x^{2} \cdot 2))}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.6.1.6.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x (4 x) + x \cdot - 3$ heraus.

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{(x (4 x - 3) + x (2 \cdot x \cdot 2)) (4 x^{2} - 3 x - (2 \cdot x^{2} \cdot 2))}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.6.1.6.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (4 x - 3) + x (2 \cdot x \cdot 2)$ heraus.

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x (4 x - 3 + 2 \cdot x \cdot 2) (4 x^{2} - 3 x - (2 \cdot x^{2} \cdot 2))}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.6.1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x (4 x - 3 + 4 x) (4 x^{2} - 3 x - (2 \cdot x^{2} \cdot 2))}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.6.1.6.3

Addiere $4 x$ und $4 x$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x (8 x - 3) (4 x^{2} - 3 x - (2 \cdot x^{2} \cdot 2))}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.6.1.6.4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.6.1.6.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x (8 x - 3) (4 x^{2} - 3 x - (4 \cdot x^{2}))}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.6.1.6.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x (8 x - 3) (4 x^{2} - 3 x - 4 x^{2})}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.6.1.7

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x^{2} - 3 x - 4 x^{2}$ .

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Schritt 3.6.1.7.1

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x (8 x - 3) (- 3 x + 0)}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.6.1.7.2

Addiere $- 3 x$ und $0$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x (8 x - 3) (- 3 x)}}{2 x^{4}}$

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x (8 x - 3) \cdot (- 3 x)}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.6.1.8

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.6.1.8.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x \cdot x (8 x - 3) \cdot - 3}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.6.1.8.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x \cdot x (8 x - 3) \cdot - 3}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.6.1.8.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x^{1 + 1} (8 x - 3) \cdot - 3}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.6.1.8.4

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x^{2} (8 x - 3) \cdot - 3}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.6.1.9

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x^{2} ((8 x - 3) \cdot - 3)}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.6.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm x \sqrt{(8 x - 3) \cdot - 3}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.6.2

Stelle die Faktoren in $\frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm x \sqrt{(8 x - 3) \cdot - 3}}{2 x^{4}}$ um.

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm x \sqrt{- 3 (8 x - 3)}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.6.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x + x \sqrt{- 3 (8 x - 3)}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.6.4

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x^{2} + 3 x + x \sqrt{- 3 (8 x - 3)}$ heraus.

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Schritt 3.6.4.1

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{x (- 4 x) + 3 x + x \sqrt{- 3 (8 x - 3)}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.6.4.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$y = \frac{x (- 4 x) + x \cdot 3 + x \sqrt{- 3 (8 x - 3)}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.6.4.3

Faktorisiere $x$ aus $x \sqrt{- 3 (8 x - 3)}$ heraus.

$y = \frac{x (- 4 x) + x \cdot 3 + x (\sqrt{- 3 (8 x - 3)})}{2 x^{4}}$

Schritt 3.6.4.4

Faktorisiere $x$ aus $x (- 4 x) + x \cdot 3$ heraus.

$y = \frac{x (- 4 x + 3) + x (\sqrt{- 3 (8 x - 3)})}{2 x^{4}}$

Schritt 3.6.4.5

Faktorisiere $x$ aus $x (- 4 x + 3) + x (\sqrt{- 3 (8 x - 3)})$ heraus.

$y = \frac{x (- 4 x + 3 + \sqrt{- 3 (8 x - 3)})}{2 x^{4}}$

Schritt 3.6.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.5.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{4}$ heraus.

$y = \frac{x (- 4 x + 3 + \sqrt{- 3 (8 x - 3)})}{x (2 x^{3})}$

Schritt 3.6.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x (- 4 x + 3 + \sqrt{- 3 (8 x - 3)})}{x (2 x^{3})}$

Schritt 3.6.5.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 4 x + 3 + \sqrt{- 3 (8 x - 3)}}{2 x^{3}}$

Schritt 3.6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x$ heraus.

$y = \frac{- (4 x) + 3 + \sqrt{- 3 (8 x - 3)}}{2 x^{3}}$

Schritt 3.6.7

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$y = \frac{- (4 x) - 1 \cdot - 3 + \sqrt{- 3 (8 x - 3)}}{2 x^{3}}$

Schritt 3.6.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x) - 1 (- 3)$ heraus.

$y = \frac{- (4 x - 3) + \sqrt{- 3 (8 x - 3)}}{2 x^{3}}$

Schritt 3.6.9

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{- 3 (8 x - 3)}$ heraus.

$y = \frac{- (4 x - 3) - 1 (- \sqrt{- 3 (8 x - 3)})}{2 x^{3}}$

Schritt 3.6.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x - 3) - 1 (- \sqrt{- 3 (8 x - 3)})$ heraus.

$y = \frac{- (4 x - 3 - \sqrt{- 3 (8 x - 3)})}{2 x^{3}}$

Schritt 3.6.11

Schreibe $- (4 x - 3 - \sqrt{- 3 (8 x - 3)})$ als $- 1 (4 x - 3 - \sqrt{- 3 (8 x - 3)})$ um.

$y = \frac{- 1 (4 x - 3 - \sqrt{- 3 (8 x - 3)})}{2 x^{3}}$

Schritt 3.6.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{4 x - 3 - \sqrt{- 3 (8 x - 3)}}{2 x^{3}}$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- (4 x^{2}) - (- 3 x) \pm \sqrt{{(4 x^{2} - 3 x)}^{2} - 4 \cdot x^{4} \cdot 4}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.7.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} - (- 3 x) \pm \sqrt{{(4 x^{2} - 3 x)}^{2} - 4 \cdot x^{4} \cdot 4}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.7.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{{(4 x^{2} - 3 x)}^{2} - 4 \cdot x^{4} \cdot 4}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.7.1.4

Schreibe $4 \cdot x^{4} \cdot 4$ als ${(2 \cdot x^{2} \cdot 2)}^{2}$ um.

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{{(4 x^{2} - 3 x)}^{2} - {(2 \cdot x^{2} \cdot 2)}^{2}}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.7.1.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4 x^{2} - 3 x$ und $b = 2 \cdot x^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{(4 x^{2} - 3 x + 2 \cdot x^{2} \cdot 2) (4 x^{2} - 3 x - (2 \cdot x^{2} \cdot 2))}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.7.1.6

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1.6.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{2} - 3 x + 2 \cdot x^{2} \cdot 2$ heraus.

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Schritt 3.7.1.6.1.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{(x (4 x) - 3 x + 2 \cdot x^{2} \cdot 2) (4 x^{2} - 3 x - (2 \cdot x^{2} \cdot 2))}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.7.1.6.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x$ heraus.

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{(x (4 x) + x \cdot - 3 + 2 \cdot x^{2} \cdot 2) (4 x^{2} - 3 x - (2 \cdot x^{2} \cdot 2))}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.7.1.6.1.3

Faktorisiere $x$ aus $2 \cdot x^{2} \cdot 2$ heraus.

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{(x (4 x) + x \cdot - 3 + x (2 \cdot x \cdot 2)) (4 x^{2} - 3 x - (2 \cdot x^{2} \cdot 2))}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.7.1.6.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x (4 x) + x \cdot - 3$ heraus.

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{(x (4 x - 3) + x (2 \cdot x \cdot 2)) (4 x^{2} - 3 x - (2 \cdot x^{2} \cdot 2))}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.7.1.6.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (4 x - 3) + x (2 \cdot x \cdot 2)$ heraus.

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x (4 x - 3 + 2 \cdot x \cdot 2) (4 x^{2} - 3 x - (2 \cdot x^{2} \cdot 2))}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.7.1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x (4 x - 3 + 4 x) (4 x^{2} - 3 x - (2 \cdot x^{2} \cdot 2))}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.7.1.6.3

Addiere $4 x$ und $4 x$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x (8 x - 3) (4 x^{2} - 3 x - (2 \cdot x^{2} \cdot 2))}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.7.1.6.4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.7.1.6.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x (8 x - 3) (4 x^{2} - 3 x - (4 \cdot x^{2}))}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.7.1.6.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x (8 x - 3) (4 x^{2} - 3 x - 4 x^{2})}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.7.1.7

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x^{2} - 3 x - 4 x^{2}$ .

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Schritt 3.7.1.7.1

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x (8 x - 3) (- 3 x + 0)}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.7.1.7.2

Addiere $- 3 x$ und $0$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x (8 x - 3) (- 3 x)}}{2 x^{4}}$

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x (8 x - 3) \cdot (- 3 x)}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.7.1.8

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.7.1.8.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x \cdot x (8 x - 3) \cdot - 3}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.7.1.8.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x \cdot x (8 x - 3) \cdot - 3}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.7.1.8.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x^{1 + 1} (8 x - 3) \cdot - 3}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.7.1.8.4

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x^{2} (8 x - 3) \cdot - 3}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.7.1.9

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm \sqrt{x^{2} ((8 x - 3) \cdot - 3)}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.7.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm x \sqrt{(8 x - 3) \cdot - 3}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.7.2

Stelle die Faktoren in $\frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm x \sqrt{(8 x - 3) \cdot - 3}}{2 x^{4}}$ um.

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x \pm x \sqrt{- 3 (8 x - 3)}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.7.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 3 x - x \sqrt{- 3 (8 x - 3)}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.7.4

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x^{2} + 3 x - x \sqrt{- 3 (8 x - 3)}$ heraus.

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Schritt 3.7.4.1

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{x (- 4 x) + 3 x - x \sqrt{- 3 (8 x - 3)}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.7.4.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$y = \frac{x (- 4 x) + x \cdot 3 - x \sqrt{- 3 (8 x - 3)}}{2 x^{4}}$

Schritt 3.7.4.3

Faktorisiere $x$ aus $- x \sqrt{- 3 (8 x - 3)}$ heraus.

$y = \frac{x (- 4 x) + x \cdot 3 + x (- \sqrt{- 3 (8 x - 3)})}{2 x^{4}}$

Schritt 3.7.4.4

Faktorisiere $x$ aus $x (- 4 x) + x \cdot 3$ heraus.

$y = \frac{x (- 4 x + 3) + x (- \sqrt{- 3 (8 x - 3)})}{2 x^{4}}$

Schritt 3.7.4.5

Faktorisiere $x$ aus $x (- 4 x + 3) + x (- \sqrt{- 3 (8 x - 3)})$ heraus.

$y = \frac{x (- 4 x + 3 - \sqrt{- 3 (8 x - 3)})}{2 x^{4}}$

Schritt 3.7.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.7.5.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{4}$ heraus.

$y = \frac{x (- 4 x + 3 - \sqrt{- 3 (8 x - 3)})}{x (2 x^{3})}$

Schritt 3.7.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x (- 4 x + 3 - \sqrt{- 3 (8 x - 3)})}{x (2 x^{3})}$

Schritt 3.7.5.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 4 x + 3 - \sqrt{- 3 (8 x - 3)}}{2 x^{3}}$

Schritt 3.7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x$ heraus.

$y = \frac{- (4 x) + 3 - \sqrt{- 3 (8 x - 3)}}{2 x^{3}}$

Schritt 3.7.7

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$y = \frac{- (4 x) - 1 \cdot - 3 - \sqrt{- 3 (8 x - 3)}}{2 x^{3}}$

Schritt 3.7.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x) - 1 (- 3)$ heraus.

$y = \frac{- (4 x - 3) - \sqrt{- 3 (8 x - 3)}}{2 x^{3}}$

Schritt 3.7.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{- 3 (8 x - 3)}$ heraus.

$y = \frac{- (4 x - 3) - (\sqrt{- 3 (8 x - 3)})}{2 x^{3}}$

Schritt 3.7.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x - 3) - (\sqrt{- 3 (8 x - 3)})$ heraus.

$y = \frac{- (4 x - 3 + \sqrt{- 3 (8 x - 3)})}{2 x^{3}}$

Schritt 3.7.11

Schreibe $- (4 x - 3 + \sqrt{- 3 (8 x - 3)})$ als $- 1 (4 x - 3 + \sqrt{- 3 (8 x - 3)})$ um.

$y = \frac{- 1 (4 x - 3 + \sqrt{- 3 (8 x - 3)})}{2 x^{3}}$

Schritt 3.7.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{4 x - 3 + \sqrt{- 3 (8 x - 3)}}{2 x^{3}}$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{4 x - 3 - \sqrt{- 3 (8 x - 3)}}{2 x^{3}}$

$y = - \frac{4 x - 3 + \sqrt{- 3 (8 x - 3)}}{2 x^{3}}$

$y = - \frac{4 x - 3 - \sqrt{- 3 (8 x - 3)}}{2 x^{3}}$

$y = - \frac{4 x - 3 + \sqrt{- 3 (8 x - 3)}}{2 x^{3}}$