Analysis Beispiele

$y = \frac{3}{8 x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{3}{8 x^{2}} = y$ um.

$\frac{3}{8 x^{2}} = y$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$8 x^{2}, 1$

Schritt 2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$8 x^{2}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{3}{8 x^{2}} = y$ mit $8 x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{3}{8 x^{2}} = y$ mit $8 x^{2}$ .

$\frac{3}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = y (8 x^{2})$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 \frac{3}{8 x^{2}} x^{2} = y (8 x^{2})$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x^{2}$ heraus.

$8 \frac{3}{8 (x^{2})} x^{2} = y (8 x^{2})$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \frac{3}{8 x^{2}} x^{2} = y (8 x^{2})$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{x^{2}} x^{2} = y (8 x^{2})$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{x^{2}} x^{2} = y (8 x^{2})$

Schritt 3.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$3 = y (8 x^{2})$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 = 8 y x^{2}$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $8 y x^{2} = 3$ um.

$8 y x^{2} = 3$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $8 y x^{2} = 3$ durch $8 y$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 y x^{2} = 3$ durch $8 y$ .

$\frac{8 y x^{2}}{8 y} = \frac{3}{8 y}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 y x^{2}}{8 y} = \frac{3}{8 y}$

Schritt 4.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y x^{2}}{y} = \frac{3}{8 y}$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x^{2}}{y} = \frac{3}{8 y}$

Schritt 4.2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{8 y}$

Schritt 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{8 y}}$

Schritt 4.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{3}{8 y}}$ .

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Schritt 4.4.1

Schreibe $\frac{3}{8 y}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{3}{2 y}$ um.

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Schritt 4.4.1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $3$ heraus.

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} \cdot 3}{8 y}}$

Schritt 4.4.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $8 y$ heraus.

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot (2 y)}}$

Schritt 4.4.1.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot (2 y)}$ um.

$x = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{3}{2 y}}$

Schritt 4.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2 y}}$

Schritt 4.4.3

Schreibe $\sqrt{\frac{3}{2 y}}$ als $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2 y}}$ um.

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2 y}}$

Schritt 4.4.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2 y}}$ mit $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{2 y}}$ .

$x = \pm \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2 y}} \cdot \frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{2 y}})$

Schritt 4.4.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.4.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2 y}}$ mit $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{2 y}}$ .

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2 y}}{\sqrt{2 y} \sqrt{2 y}}$

Schritt 4.4.5.2

Potenziere $\sqrt{2 y}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2 y}}{{\sqrt{2 y}}^{1} \sqrt{2 y}}$

Schritt 4.4.5.3

Potenziere $\sqrt{2 y}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2 y}}{{\sqrt{2 y}}^{1} {\sqrt{2 y}}^{1}}$

Schritt 4.4.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2 y}}{{\sqrt{2 y}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.4.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2 y}}{{\sqrt{2 y}}^{2}}$

Schritt 4.4.5.6

Schreibe ${\sqrt{2 y}}^{2}$ als $2 y$ um.

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Schritt 4.4.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 y}$ als ${(2 y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2 y}}{{({(2 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.4.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2 y}}{{(2 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2 y}}{{(2 y)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2 y}}{{(2 y)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2 y}}{{(2 y)}^{1}}$

Schritt 4.4.5.6.5

Vereinfache.

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2 y}}{2 y}$

Schritt 4.4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.6.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 (2 y)}}{2 y}$

Schritt 4.4.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6 y}}{2 y}$

Schritt 4.4.7

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6 y}}{2 y}$ .

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Schritt 4.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{6 y}}{2 y}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6 y}}{2 (2 y)}$

Schritt 4.4.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6 y}}{4 y}$

Schritt 4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{4 y}$

Schritt 4.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{4 y}$

Schritt 4.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{4 y}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{4 y}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{4 y}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{4 y}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{4 y}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{4 y}$

Schritt 5

Um als Funktion von $y$ neu zu schreiben, schreibe die Gleichung so, dass $x$ für sich auf einer Seite des Gleichheitszeichens ist und ein Ausdruck, der nur $y$ enthält, auf der anderen Seite ist.

$f (y) = \frac{\sqrt{6 y}}{4 y}, - \frac{\sqrt{6 y}}{4 y}$