Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (x)}{\sin (x^{3})}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x^{3})}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.1

Ziehe den Exponenten $3$ von $\sin^{3} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{3}}{lim_{x \to 0} \sin (x^{3})}$

Schritt 1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin^{3} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x^{3})}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x^{3})}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0^{3}}{lim_{x \to 0} \sin (x^{3})}$

Schritt 1.2.3.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x^{3})}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x^{3})}$

Schritt 1.3.1.2

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{\sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{3})}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\sin (0^{3})}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Schritt 1.3.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (x)}{\sin (x^{3})} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x^{3})]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x^{3})]}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x^{3})]}$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x^{3})]}$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x^{3})]}$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x^{3})]}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 3.4.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x^{3}) (3 x^{2})}$

Schritt 3.6

Stelle die Faktoren von $\cos (x^{3}) (3 x^{2})$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{3 x^{2} \cos (x^{3})}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{3 x^{2} \cos (x^{3})}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) \cos (x)}{x^{2} \cos (x^{3})}$

Schritt 5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x^{3})}$

Schritt 5.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 5.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x^{3})}$

Schritt 5.1.2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sin^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x^{3})}$

Schritt 5.1.2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x^{3})}$

Schritt 5.1.2.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x^{3})}$

Schritt 5.1.2.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin^{2} (0) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x^{3})}$

Schritt 5.1.2.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin^{2} (0) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x^{3})}$

Schritt 5.1.2.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1.2.6.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0^{2} \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x^{3})}$

Schritt 5.1.2.6.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x^{3})}$

Schritt 5.1.2.6.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x^{3})}$

Schritt 5.1.2.6.4

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x^{3})}$

Schritt 5.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x^{3})}$

Schritt 5.1.3.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x^{3})}$

Schritt 5.1.3.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x^{3})}$

Schritt 5.1.3.4

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3})}$

Schritt 5.1.3.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1.3.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0^{2} \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3})}$

Schritt 5.1.3.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0^{2} \cdot \cos (0^{3})}$

Schritt 5.1.3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1.3.6.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (0^{3})}$

Schritt 5.1.3.6.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (0)}$

Schritt 5.1.3.6.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3.6.4

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.1.3.6.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.1.3.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) \cos (x)}{x^{2} \cos (x^{3})} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

Schritt 5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

Schritt 5.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin^{2} (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

Schritt 5.3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

Schritt 5.3.4

Multipliziere $\sin^{2} (x)$ mit $\sin (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.4.1

Bewege $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

Schritt 5.3.4.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $\sin^{2} (x)$ .

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Schritt 5.3.4.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

Schritt 5.3.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0} \frac{{\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

Schritt 5.3.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

Schritt 5.3.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sin^{3} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

Schritt 5.3.6

Schreibe $- 1 \sin^{3} (x)$ als $- \sin^{3} (x)$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

Schritt 5.3.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 5.3.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

Schritt 5.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

Schritt 5.3.7.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

Schritt 5.3.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + 2 \cdot \cos (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

Schritt 5.3.9

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

Schritt 5.3.10

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos (x)) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

Schritt 5.3.11

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

Schritt 5.3.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

Schritt 5.3.13

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + 2 \cos^{2} (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

Schritt 5.3.14

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

Schritt 5.3.15

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x^{3})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x^{3})] + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 5.3.16

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 5.3.16.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{x^{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 5.3.16.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{x^{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 5.3.16.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{x^{2} (- \sin (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 5.3.17

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{x^{2} (- \sin (x^{3}) (3 x^{2})) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 5.3.18

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{x^{2} (- 3 \sin (x^{3}) x^{2}) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 5.3.19

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.19.1

Bewege $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{x^{2} x^{2} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 5.3.19.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{x^{2 + 2} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 5.3.19.3

Addiere $2$ und $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{x^{4} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 5.3.20

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{x^{4} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) (2 x)}$

Schritt 5.3.21

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

Schritt 6

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 6.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

Schritt 6.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 6.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \cos^{2} (x) \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

Schritt 6.1.2.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

Schritt 6.1.2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{2 lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

Schritt 6.1.2.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $\cos^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{2 {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

Schritt 6.1.2.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

Schritt 6.1.2.6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

Schritt 6.1.2.7

Ziehe den Exponenten $3$ von $\sin^{3} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - {(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{3}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

Schritt 6.1.2.8

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - \sin^{3} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

Schritt 6.1.2.9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.2.9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{2 \cos^{2} (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - \sin^{3} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

Schritt 6.1.2.9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{2 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) - \sin^{3} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

Schritt 6.1.2.9.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{2 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) - \sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

Schritt 6.1.2.10

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.2.10.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.2.10.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{2 \cdot 1^{2} \cdot \sin (0) - \sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

Schritt 6.1.2.10.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2 \cdot 1 \cdot \sin (0) - \sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

Schritt 6.1.2.10.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 \cdot \sin (0) - \sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

Schritt 6.1.2.10.1.4

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - \sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

Schritt 6.1.2.10.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0 - \sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

Schritt 6.1.2.10.1.6

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0 - 0^{3}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

Schritt 6.1.2.10.1.7

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

Schritt 6.1.2.10.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

Schritt 6.1.2.10.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

Schritt 6.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{- lim_{x \to 0} 3 x^{4} \sin (x^{3}) + lim_{x \to 0} 2 x \cos (x^{3})}$

Schritt 6.1.3.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{- 3 lim_{x \to 0} x^{4} \sin (x^{3}) + lim_{x \to 0} 2 x \cos (x^{3})}$

Schritt 6.1.3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{- 3 lim_{x \to 0} x^{4} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x^{3}) + lim_{x \to 0} 2 x \cos (x^{3})}$

Schritt 6.1.3.4

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x^{3}) + lim_{x \to 0} 2 x \cos (x^{3})}$

Schritt 6.1.3.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x^{3}) + lim_{x \to 0} 2 x \cos (x^{3})}$

Schritt 6.1.3.6

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) + lim_{x \to 0} 2 x \cos (x^{3})}$

Schritt 6.1.3.7

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) + 2 lim_{x \to 0} x \cos (x^{3})}$

Schritt 6.1.3.8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) + 2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x^{3})}$

Schritt 6.1.3.9

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{0}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) + 2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x^{3})}$

Schritt 6.1.3.10

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) + 2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3})}$

Schritt 6.1.3.11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.3.11.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{- 3 \cdot 0^{4} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) + 2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3})}$

Schritt 6.1.3.11.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{- 3 \cdot 0^{4} \cdot \sin (0^{3}) + 2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3})}$

Schritt 6.1.3.11.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{- 3 \cdot 0^{4} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cdot 0 \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3})}$

Schritt 6.1.3.11.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{- 3 \cdot 0^{4} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cdot 0 \cdot \cos (0^{3})}$

Schritt 6.1.3.12

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.3.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.3.12.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cdot 0 \cdot \cos (0^{3})}$

Schritt 6.1.3.12.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cdot 0 \cdot \cos (0^{3})}$

Schritt 6.1.3.12.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cdot 0 \cdot \cos (0^{3})}$

Schritt 6.1.3.12.1.4

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0 + 2 \cdot 0 \cdot \cos (0^{3})}$

Schritt 6.1.3.12.1.5

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{0}{0 + 2 \cdot 0 \cdot \cos (0^{3})}$

Schritt 6.1.3.12.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 \cdot \cos (0^{3})}$

Schritt 6.1.3.12.1.7

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 \cdot \cos (0)}$

Schritt 6.1.3.12.1.8

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{0}{0 + 0 \cdot 1}$

Schritt 6.1.3.12.1.9

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Schritt 6.1.3.12.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 6.1.3.12.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 6.1.3.13

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 6.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 6.2

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 6.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

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Schritt 6.3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos^{2} (x) \sin (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos^{2} (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 6.3.3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.3.4.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.3.5

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.3.6

Multipliziere $\cos^{2} (x)$ mit $\cos (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.3.6.1

Mutltipliziere $\cos^{2} (x)$ mit $\cos (x)$ .

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Schritt 6.3.3.6.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.3.6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0} \frac{2 ({\cos (x)}^{2 + 1} + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.3.6.2

Addiere $2$ und $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (- 2 \cos (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.3.8

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.3.9

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.3.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.3.11

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]$ .

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Schritt 6.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin^{3} (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 6.3.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.4.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.4.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - (3 \sin^{2} (x) \cos (x))}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.5

Vereinfache.

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Schritt 6.3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{3} (x) + 2 (- 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 6.3.5.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{3} (x) - 4 (\cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.5.2.2

Stelle die Faktoren von $- 4 \cos (x) \sin^{2} (x)$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{3} (x) - 4 \sin^{2} (x) \cos (x) - 3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.5.2.3

Subtrahiere $3 \sin^{2} (x) \cos (x)$ von $- 4 \sin^{2} (x) \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{3} (x) - 7 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.5.3

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3})] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x^{3})]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3})] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3})]$ .

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Schritt 6.3.7.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{4} \sin (x^{3})$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4} \sin (x^{3})]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 \frac{d}{d x} [x^{4} \sin (x^{3})] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \sin (x^{3})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{4} \frac{d}{d x} [\sin (x^{3})] + \sin (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.7.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 6.3.7.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \sin (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.7.3.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{4} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \sin (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.7.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{4} (\cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \sin (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.7.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{4} (\cos (x^{3}) (3 x^{2})) + \sin (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.7.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{4} (\cos (x^{3}) (3 x^{2})) + \sin (x^{3}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.7.6

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.7.6.1

Bewege $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{2} x^{4} (\cos (x^{3}) \cdot (3)) + \sin (x^{3}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.7.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{2 + 4} (\cos (x^{3}) \cdot (3)) + \sin (x^{3}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.7.6.3

Addiere $2$ und $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{6} (\cos (x^{3}) \cdot (3)) + \sin (x^{3}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.7.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos (x^{3})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{6} (3 \cos (x^{3})) + \sin (x^{3}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x \cos (x^{3})]$ .

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Schritt 6.3.8.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x \cos (x^{3})$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x^{3})]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{6} (3 \cos (x^{3})) + \sin (x^{3}) (4 x^{3})) + 2 \frac{d}{d x} [x \cos (x^{3})]}$

Schritt 6.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \cos (x^{3})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{6} (3 \cos (x^{3})) + \sin (x^{3}) (4 x^{3})) + 2 (x \frac{d}{d x} [\cos (x^{3})] + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 6.3.8.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 6.3.8.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{6} (3 \cos (x^{3})) + \sin (x^{3}) (4 x^{3})) + 2 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 6.3.8.3.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{6} (3 \cos (x^{3})) + \sin (x^{3}) (4 x^{3})) + 2 (x (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 6.3.8.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{6} (3 \cos (x^{3})) + \sin (x^{3}) (4 x^{3})) + 2 (x (- \sin (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 6.3.8.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{6} (3 \cos (x^{3})) + \sin (x^{3}) (4 x^{3})) + 2 (x (- \sin (x^{3}) (3 x^{2})) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 6.3.8.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{6} (3 \cos (x^{3})) + \sin (x^{3}) (4 x^{3})) + 2 (x (- \sin (x^{3}) (3 x^{2})) + \cos (x^{3}) \cdot 1)}$

Schritt 6.3.8.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{6} (3 \cos (x^{3})) + \sin (x^{3}) (4 x^{3})) + 2 (x (- 3 \sin (x^{3}) x^{2}) + \cos (x^{3}) \cdot 1)}$

Schritt 6.3.8.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{6} (3 \cos (x^{3})) + \sin (x^{3}) (4 x^{3})) + 2 (x^{2} x^{1} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) \cdot 1)}$

Schritt 6.3.8.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{6} (3 \cos (x^{3})) + \sin (x^{3}) (4 x^{3})) + 2 (x^{2 + 1} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) \cdot 1)}$

Schritt 6.3.8.9

Addiere $2$ und $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{6} (3 \cos (x^{3})) + \sin (x^{3}) (4 x^{3})) + 2 (x^{3} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) \cdot 1)}$

Schritt 6.3.8.10

Mutltipliziere $\cos (x^{3})$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{6} (3 \cos (x^{3})) + \sin (x^{3}) (4 x^{3})) + 2 (x^{3} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}))}$

Schritt 6.3.9

Vereinfache.

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Schritt 6.3.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{6} (3 \cos (x^{3}))) - 3 (\sin (x^{3}) (4 x^{3})) + 2 (x^{3} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}))}$

Schritt 6.3.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{6} (3 \cos (x^{3}))) - 3 (\sin (x^{3}) (4 x^{3})) + 2 (x^{3} (- 3 \sin (x^{3}))) + 2 \cos (x^{3})}$

Schritt 6.3.9.3

Vereine die Terme

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Schritt 6.3.9.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 9 (x^{6} (\cos (x^{3}))) - 3 (\sin (x^{3}) (4 x^{3})) + 2 (x^{3} (- 3 \sin (x^{3}))) + 2 \cos (x^{3})}$

Schritt 6.3.9.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 9 x^{6} \cos (x^{3}) - 12 (\sin (x^{3}) (x^{3})) + 2 (x^{3} (- 3 \sin (x^{3}))) + 2 \cos (x^{3})}$

Schritt 6.3.9.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 9 x^{6} \cos (x^{3}) - 12 \sin (x^{3}) x^{3} - 6 (x^{3} (\sin (x^{3}))) + 2 \cos (x^{3})}$

Schritt 6.3.9.3.4

Subtrahiere $6 x^{3} \sin (x^{3})$ von $- 12 \sin (x^{3}) x^{3}$ .

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Schritt 6.3.9.3.4.1

Bewege $\sin (x^{3})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 9 x^{6} \cos (x^{3}) - 12 x^{3} \sin (x^{3}) - 6 x^{3} \sin (x^{3}) + 2 \cos (x^{3})}$

Schritt 6.3.9.3.4.2

Subtrahiere $6 x^{3} \sin (x^{3})$ von $- 12 x^{3} \sin (x^{3})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 9 x^{6} \cos (x^{3}) - 18 x^{3} \sin (x^{3}) + 2 \cos (x^{3})}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 7.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} - 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 9 x^{6} \cos (x^{3}) - 18 x^{3} \sin (x^{3}) + 2 \cos (x^{3})}$

Schritt 7.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{- lim_{x \to 0} 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 9 x^{6} \cos (x^{3}) - 18 x^{3} \sin (x^{3}) + 2 \cos (x^{3})}$

Schritt 7.3

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 7 lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 9 x^{6} \cos (x^{3}) - 18 x^{3} \sin (x^{3}) + 2 \cos (x^{3})}$

Schritt 7.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{- 7 lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 9 x^{6} \cos (x^{3}) - 18 x^{3} \sin (x^{3}) + 2 \cos (x^{3})}$

Schritt 7.5

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sin^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{- 7 {(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 9 x^{6} \cos (x^{3}) - 18 x^{3} \sin (x^{3}) + 2 \cos (x^{3})}$

Schritt 7.6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 9 x^{6} \cos (x^{3}) - 18 x^{3} \sin (x^{3}) + 2 \cos (x^{3})}$

Schritt 7.7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 9 x^{6} \cos (x^{3}) - 18 x^{3} \sin (x^{3}) + 2 \cos (x^{3})}$

Schritt 7.8

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 9 x^{6} \cos (x^{3}) - 18 x^{3} \sin (x^{3}) + 2 \cos (x^{3})}$

Schritt 7.9

Ziehe den Exponenten $3$ von $\cos^{3} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{3}}{lim_{x \to 0} - 9 x^{6} \cos (x^{3}) - 18 x^{3} \sin (x^{3}) + 2 \cos (x^{3})}$

Schritt 7.10

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 9 x^{6} \cos (x^{3}) - 18 x^{3} \sin (x^{3}) + 2 \cos (x^{3})}$

Schritt 7.11

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} 9 x^{6} \cos (x^{3}) - lim_{x \to 0} 18 x^{3} \sin (x^{3}) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x^{3})}$

Schritt 7.12

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x^{6} \cos (x^{3}) - lim_{x \to 0} 18 x^{3} \sin (x^{3}) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x^{3})}$

Schritt 7.13

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x^{6} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x^{3}) - lim_{x \to 0} 18 x^{3} \sin (x^{3}) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x^{3})}$

Schritt 7.14

Ziehe den Exponenten $6$ von $x^{6}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{6} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x^{3}) - lim_{x \to 0} 18 x^{3} \sin (x^{3}) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x^{3})}$

Schritt 7.15

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{6} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x^{3}) - lim_{x \to 0} 18 x^{3} \sin (x^{3}) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x^{3})}$

Schritt 7.16

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{6} \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) - lim_{x \to 0} 18 x^{3} \sin (x^{3}) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x^{3})}$

Schritt 7.17

Ziehe den Term $18$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{6} \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) - 18 lim_{x \to 0} x^{3} \sin (x^{3}) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x^{3})}$

Schritt 7.18

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

Schritt 7.19

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{6} \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) - 18 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x^{3}) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x^{3})}$

Schritt 7.20

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{6} \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) - 18 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x^{3}) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x^{3})}$

Schritt 7.21

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{6} \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) - 18 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x^{3})}$

Schritt 7.22

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{6} \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) - 18 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) + 2 lim_{x \to 0} \cos (x^{3})}$

Schritt 7.23

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{6} \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) - 18 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x^{3})}$

Schritt 7.24

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{6} \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) - 18 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) + 2 \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3})}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{6} \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) - 18 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) + 2 \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3})}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{6} \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) - 18 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) + 2 \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3})}$

Schritt 8.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{6} \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) - 18 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) + 2 \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3})}$

Schritt 8.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)}{- 9 \cdot 0^{6} \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) - 18 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) + 2 \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3})}$

Schritt 8.5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)}{- 9 \cdot 0^{6} \cdot \cos (0^{3}) - 18 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) + 2 \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3})}$

Schritt 8.6

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)}{- 9 \cdot 0^{6} \cdot \cos (0^{3}) - 18 \cdot 0^{3} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) + 2 \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3})}$

Schritt 8.7

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)}{- 9 \cdot 0^{6} \cdot \cos (0^{3}) - 18 \cdot 0^{3} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3})}$

Schritt 8.8

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)}{- 9 \cdot 0^{6} \cdot \cos (0^{3}) - 18 \cdot 0^{3} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos (0^{3})}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{- 7 \cdot 0^{2} \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)}{- 9 \cdot 0^{6} \cdot \cos (0^{3}) - 18 \cdot 0^{3} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos (0^{3})}$

Schritt 9.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{- 7 \cdot 0 \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)}{- 9 \cdot 0^{6} \cdot \cos (0^{3}) - 18 \cdot 0^{3} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos (0^{3})}$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $0$ .

$\frac{0 \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)}{- 9 \cdot 0^{6} \cdot \cos (0^{3}) - 18 \cdot 0^{3} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos (0^{3})}$

Schritt 9.1.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{0 \cdot 1 + 2 \cos^{3} (0)}{- 9 \cdot 0^{6} \cdot \cos (0^{3}) - 18 \cdot 0^{3} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos (0^{3})}$

Schritt 9.1.5

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{0 + 2 \cos^{3} (0)}{- 9 \cdot 0^{6} \cdot \cos (0^{3}) - 18 \cdot 0^{3} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos (0^{3})}$

Schritt 9.1.6

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 1^{3}}{- 9 \cdot 0^{6} \cdot \cos (0^{3}) - 18 \cdot 0^{3} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos (0^{3})}$

Schritt 9.1.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0 + 2 \cdot 1}{- 9 \cdot 0^{6} \cdot \cos (0^{3}) - 18 \cdot 0^{3} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos (0^{3})}$

Schritt 9.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{0 + 2}{- 9 \cdot 0^{6} \cdot \cos (0^{3}) - 18 \cdot 0^{3} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos (0^{3})}$

Schritt 9.1.9

Addiere $0$ und $2$ .

$\frac{2}{- 9 \cdot 0^{6} \cdot \cos (0^{3}) - 18 \cdot 0^{3} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos (0^{3})}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2}{- 9 \cdot 0 \cdot \cos (0^{3}) - 18 \cdot 0^{3} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos (0^{3})}$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $0$ .

$\frac{2}{0 \cdot \cos (0^{3}) - 18 \cdot 0^{3} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos (0^{3})}$

Schritt 9.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2}{0 \cdot \cos (0) - 18 \cdot 0^{3} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos (0^{3})}$

Schritt 9.2.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{2}{0 \cdot 1 - 18 \cdot 0^{3} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos (0^{3})}$

Schritt 9.2.5

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{2}{0 - 18 \cdot 0^{3} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos (0^{3})}$

Schritt 9.2.6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2}{0 - 18 \cdot 0 \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos (0^{3})}$

Schritt 9.2.7

Mutltipliziere $- 18$ mit $0$ .

$\frac{2}{0 + 0 \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos (0^{3})}$

Schritt 9.2.8

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2}{0 + 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0^{3})}$

Schritt 9.2.9

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{2}{0 + 0 \cdot 0 + 2 \cos (0^{3})}$

Schritt 9.2.10

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{2}{0 + 0 + 2 \cos (0^{3})}$

Schritt 9.2.11

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2}{0 + 0 + 2 \cos (0)}$

Schritt 9.2.12

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{2}{0 + 0 + 2 \cdot 1}$

Schritt 9.2.13

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2}{0 + 0 + 2}$

Schritt 9.2.14

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{2}{0 + 2}$

Schritt 9.2.15

Addiere $0$ und $2$ .

$\frac{2}{2}$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2}$

Schritt 9.3.2

Forme den Ausdruck um.

$1$