Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x} - 1 - x)}{10 x^{3}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} 3 (e^{x} - 1 - x)}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to 0^{+}} e^{x} - 1 - x}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Schritt 1.2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{3 (lim_{x \to 0^{+}} e^{x} - lim_{x \to 0^{+}} 1 - lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Schritt 1.2.3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{3 (e^{lim_{x \to 0^{+}} x} - lim_{x \to 0^{+}} 1 - lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Schritt 1.2.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{3 (e^{lim_{x \to 0^{+}} x} - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Schritt 1.2.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{3 (e^{0} - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Schritt 1.2.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{3 (e^{0} - 1 \cdot 1 + 0)}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.6.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{3 (1 - 1 \cdot 1 + 0)}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Schritt 1.2.6.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3 (1 - 1 + 0)}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{3 (0 + 0)}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Schritt 1.2.6.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Schritt 1.2.6.4

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Ziehe den Term $10$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{10 lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Schritt 1.3.1.2

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{10 {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{3}}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{10 \cdot 0^{3}}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{10 \cdot 0}$

Schritt 1.3.3.2

Mutltipliziere $10$ mit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x} - 1 - x)}{10 x^{3}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [3 (e^{x} - 1 - x)]}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [3 (e^{x} - 1 - x)]}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Schritt 3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 (e^{x} - 1 - x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - x]}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} - 1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Schritt 3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x} + 0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Schritt 3.6

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x} + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Schritt 3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x} - \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x} - 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x} - 1)}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Schritt 3.10

Vereinfache.

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Schritt 3.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 e^{x} + 3 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Schritt 3.10.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 e^{x} - 3}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Schritt 3.11

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x^{3}$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 e^{x} - 3}{10 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 3.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 e^{x} - 3}{10 (3 x^{2})}$

Schritt 3.13

Mutltipliziere $3$ mit $10$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 e^{x} - 3}{30 x^{2}}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 e^{x} - 3$ und $30$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 e^{x}$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x}) - 3}{30 x^{2}}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x}) + 3 (- 1)}{30 x^{2}}$

Schritt 4.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (e^{x}) + 3 (- 1)$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x} - 1)}{30 x^{2}}$

Schritt 4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $3$ aus $30 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x} - 1)}{3 (10 x^{2})}$

Schritt 4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x} - 1)}{3 (10 x^{2})}$

Schritt 4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{x} - 1}{10 x^{2}}$

Schritt 5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} e^{x} - 1}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{2}}$

Schritt 5.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 5.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} e^{x} - lim_{x \to 0^{+}} 1}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{2}}$

Schritt 5.1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{e^{lim_{x \to 0^{+}} x} - lim_{x \to 0^{+}} 1}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{2}}$

Schritt 5.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{e^{lim_{x \to 0^{+}} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{2}}$

Schritt 5.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{2}}$

Schritt 5.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.2.3.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{2}}$

Schritt 5.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{2}}$

Schritt 5.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{2}}$

Schritt 5.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1.3.1.1

Ziehe den Term $10$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{10 lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}$

Schritt 5.1.3.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{10 {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}$

Schritt 5.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{10 \cdot 0^{2}}$

Schritt 5.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1.3.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{10 \cdot 0}$

Schritt 5.1.3.3.2

Mutltipliziere $10$ mit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{x} - 1}{10 x^{2}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [10 x^{2}]}$

Schritt 5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [10 x^{2}]}$

Schritt 5.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [10 x^{2}]}$

Schritt 5.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [10 x^{2}]}$

Schritt 5.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [10 x^{2}]}$

Schritt 5.3.5

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [10 x^{2}]}$

Schritt 5.3.6

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x^{2}$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{x}}{10 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 5.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{x}}{10 (2 x)}$

Schritt 5.3.8

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{x}}{20 x}$

Schritt 6

Da der Zähler positiv ist und der Nenner $20 x$ gegen null geht und größer als null ist für Werte von $x$ unmittelbar rechts von $0$ , steigt die Funktion ohne Grenzen an.

$\infty$