Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{\ln (x) - \sin (π x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1}{lim_{x \to 1} \ln (x) - \sin (π x)}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \ln (x) - \sin (π x)}$

Schritt 1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \ln (x) - \sin (π x)}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \ln (x) - \sin (π x)}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \ln (x) - \sin (π x)}$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \ln (x) - \sin (π x)}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \ln (x) - lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Schritt 1.3.2

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 1} x) - lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Schritt 1.3.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 1} x) - \sin (lim_{x \to 1} π x)}$

Schritt 1.3.4

Ziehe den Term $π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 1} x) - \sin (π lim_{x \to 1} x)}$

Schritt 1.3.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{\ln (1) - \sin (π lim_{x \to 1} x)}$

Schritt 1.3.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{\ln (1) - \sin (π \cdot 1)}$

Schritt 1.3.6

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.6.1.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{0}{0 - \sin (π \cdot 1)}$

Schritt 1.3.6.1.2

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$\frac{0}{0 - \sin (π)}$

Schritt 1.3.6.1.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{0}{0 - \sin (0)}$

Schritt 1.3.6.1.4

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Schritt 1.3.6.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Schritt 1.3.6.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.6.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{\ln (x) - \sin (π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x) - \sin (π x)]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x) - \sin (π x)]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x) - \sin (π x)]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x) - \sin (π x)]}$

Schritt 3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\ln (x) - \sin (π x)]}$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\ln (x) - \sin (π x)]}$

Schritt 3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\ln (x) - \sin (π x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (π x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (π x)]}$

Schritt 3.7

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- \sin (π x)]}$

Schritt 3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sin (π x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (π x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - \frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Schritt 3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = π x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x])}$

Schritt 3.8.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x])}$

Schritt 3.8.2.3

Ersetze alle $u$ durch $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])}$

Schritt 3.8.3

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π x$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - (\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x]))}$

Schritt 3.8.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - (\cos (π x) (π \cdot 1))}$

Schritt 3.8.5

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - (\cos (π x) π)}$

Schritt 3.8.6

Entferne die Klammern.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - \cos (π x) π}$

Schritt 3.9

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{- π \cos (π x) + \frac{1}{x}}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} - π \cos (π x) + \frac{1}{x}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to 1} - π \cos (π x) + \frac{1}{x}}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{1}{- lim_{x \to 1} π \cos (π x) + lim_{x \to 1} \frac{1}{x}}$

Schritt 7

Ziehe den Term $π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- π lim_{x \to 1} \cos (π x) + lim_{x \to 1} \frac{1}{x}}$

Schritt 8

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{- π \cos (lim_{x \to 1} π x) + lim_{x \to 1} \frac{1}{x}}$

Schritt 9

Ziehe den Term $π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- π \cos (π lim_{x \to 1} x) + lim_{x \to 1} \frac{1}{x}}$

Schritt 10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{1}{- π \cos (π lim_{x \to 1} x) + \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}}$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{1}{- π \cos (π lim_{x \to 1} x) + \frac{1}{lim_{x \to 1} x}}$

Schritt 12

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1}{- π \cos (π \cdot 1) + \frac{1}{lim_{x \to 1} x}}$

Schritt 12.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1}{- π \cos (π \cdot 1) + \frac{1}{1}}$

Schritt 13

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{- π \cos (π \cdot 1) + \frac{1}{1}}$

Schritt 13.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- π \cos (π \cdot 1) + 1}$

Schritt 13.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$\frac{1}{- π \cos (π) + 1}$

Schritt 13.2.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{1}{- π (- \cos (0)) + 1}$

Schritt 13.2.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{- π (- 1 \cdot 1) + 1}$

Schritt 13.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{- π \cdot - 1 + 1}$

Schritt 13.2.5

Multipliziere $- π \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{1 π + 1}$

Schritt 13.2.5.2

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$\frac{1}{π + 1}$