Analysis Beispiele

$lim_{x \to 4} \arctan (\frac{x^{2} - 16}{5 x^{2} - 20 x})$

Schritt 1

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $5 \cdot 4 - 1 \cdot 10$ .

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $5 \cdot 4$ heraus.

$\frac{4}{- (- 5 \cdot 4) - 1 \cdot 10}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 \cdot 10$ heraus.

$\frac{4}{- (- 5 \cdot 4) - 1 (10)}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 5 \cdot 4) - 1 (10)$ heraus.

$\frac{4}{- (- 5 \cdot 4 + 10)}$

Schritt 1.1.4

Schreibe $- (- 5 \cdot 4 + 10)$ als $- 1 (- 5 \cdot 4 + 10)$ um.

$\frac{4}{- 1 (- 5 \cdot 4 + 10)}$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (2)}{- 1 (- 5 \cdot 4 + 10)}$

Schritt 1.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 1 (- 5 \cdot 4 + 10)$ heraus.

$\frac{2 (2)}{2 (- 1 (- 5 \cdot 2 + 5))}$

Schritt 1.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (- 1 (- 5 \cdot 2 + 5))}$

Schritt 1.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{- 1 (- 5 \cdot 2 + 5)}$

Schritt 1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$\frac{2}{- 1 (- 10 + 5)}$

Schritt 1.2.2

Addiere $- 10$ und $5$ .

$\frac{2}{- 1 \cdot - 5}$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$\frac{2}{5}$

Schritt 2

Ersetze $t$ für $\frac{x^{2} - 16}{5 x^{2} - 20 x}$ und lasse $t$ sich $\frac{2}{5}$ nähern solange $lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 16}{5 x^{2} - 20 x} = \frac{2}{5}$ .

$lim_{t \to \frac{2}{5}} \arctan (t)$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{2}{5}$ für alle $t$ .

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Schritt 3.1

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $5 \cdot 4 - 1 \cdot 10$ .

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Schritt 3.1.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $5 \cdot 4$ heraus.

$\arctan (\frac{4}{- (- 5 \cdot 4) - 1 \cdot 10})$

Schritt 3.1.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 \cdot 10$ heraus.

$\arctan (\frac{4}{- (- 5 \cdot 4) - 1 (10)})$

Schritt 3.1.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 5 \cdot 4) - 1 (10)$ heraus.

$\arctan (\frac{4}{- (- 5 \cdot 4 + 10)})$

Schritt 3.1.1.4

Schreibe $- (- 5 \cdot 4 + 10)$ als $- 1 (- 5 \cdot 4 + 10)$ um.

$\arctan (\frac{4}{- 1 (- 5 \cdot 4 + 10)})$

Schritt 3.1.1.5

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\arctan (\frac{2 (2)}{- 1 (- 5 \cdot 4 + 10)})$

Schritt 3.1.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 1 (- 5 \cdot 4 + 10)$ heraus.

$\arctan (\frac{2 (2)}{2 (- 1 (- 5 \cdot 2 + 5))})$

Schritt 3.1.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\arctan (\frac{2 \cdot 2}{2 (- 1 (- 5 \cdot 2 + 5))})$

Schritt 3.1.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\arctan (\frac{2}{- 1 (- 5 \cdot 2 + 5)})$

Schritt 3.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$\arctan (\frac{2}{- 1 (- 10 + 5)})$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $- 10$ und $5$ .

$\arctan (\frac{2}{- 1 \cdot - 5})$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$\arctan (\frac{2}{5})$

Schritt 3.2

Berechne $\arctan (\frac{2}{5})$ .

$0.38050637$