Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x) - x}{\sin (x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x) - x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 1.2.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 1.2.3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.2.3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\tan (0) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 1.2.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\tan (0) + 0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.4.1

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 1.2.4.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Schritt 1.3.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x) - x}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\tan (x) - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - 1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3.5

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3.6

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} - 1 + \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{- lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{- 1 \cdot 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{- 1 + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 8

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{- 1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 9

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{- 1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{- 1 + \sec^{2} (0)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{- 1 + \sec^{2} (0)}{\cos (0)}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Stelle $- 1$ und $\sec^{2} (0)$ um.

$\frac{\sec^{2} (0) - 1}{\cos (0)}$

Schritt 11.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\tan^{2} (0)}{\cos (0)}$

Schritt 11.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.3.1

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0^{2}}{\cos (0)}$

Schritt 11.3.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{\cos (0)}$

Schritt 11.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{0}{1}$

Schritt 11.5

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0$