Analysis Beispiele

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{3 t} + t^{2}}{2 e^{3 t} - t}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch den am schnellsten wachsenden Term im Nenner.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{e^{3 t}}{e^{3 t}} + \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{\frac{2 e^{3 t}}{e^{3 t}} - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{3 t}$ .

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{e^{3 t}}{e^{3 t}} + \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{\frac{2 e^{3 t}}{e^{3 t}} - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{t \to \infty} \frac{1 + \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{\frac{2 e^{3 t}}{e^{3 t}} - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{3 t}$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{t \to \infty} \frac{1 + \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{\frac{2 e^{3 t}}{e^{3 t}} - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 2.2.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1 + \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{t \to \infty} 1 + \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{t \to \infty} 1 + lim_{t \to \infty} \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1 + \frac{lim_{t \to \infty} t^{2}}{lim_{t \to \infty} e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 3.1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{1 + \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 3.1.3

Da der Exponent $3 t$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{3 t}$ $\infty$ an.

$\frac{1 + \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 3.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1 + \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 3.2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{t \to \infty} \frac{t^{2}}{e^{3 t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = 3 t$ .

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Schritt 3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 t$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [3 t]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{e^{u} \frac{d}{d t} [3 t]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 3.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $3 t$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 3.3.4

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{e^{3 t} \cdot 3 \frac{d}{d t} [t]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{e^{3 t} \cdot 3 \cdot 1}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{e^{3 t} \cdot 3}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 3.3.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 t}$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{3 e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $\frac{2}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{t \to \infty} t}{lim_{t \to \infty} e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 5.1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 5.1.3

Da der Exponent $3 t$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{3 t}$ $\infty$ an.

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 5.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 5.2

$lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{3 t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}$

Schritt 5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 5.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 5.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = 3 t$ .

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Schritt 5.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 t$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [3 t]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 5.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d t} [3 t]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 5.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $3 t$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 5.3.4

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \cdot 3 \frac{d}{d t} [t]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 5.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \cdot 3 \cdot 1}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 5.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \cdot 3}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 5.3.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 t}$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{3 e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 6

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 7

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{e^{3 t}}$ $0$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 8.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{lim_{t \to \infty} 2 - lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{3 t}}}$

Schritt 9

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 9.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - \frac{lim_{t \to \infty} t}{lim_{t \to \infty} e^{3 t}}}$

Schritt 9.1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{3 t}}}$

Schritt 9.1.3

Da der Exponent $3 t$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{3 t}$ $\infty$ an.

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - \frac{\infty}{\infty}}$

Schritt 9.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - \frac{\infty}{\infty}}$

Schritt 9.2

$lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{3 t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}$

Schritt 9.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 9.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}}$

Schritt 9.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}}$

Schritt 9.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = 3 t$ .

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Schritt 9.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 t$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [3 t]}}$

Schritt 9.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d t} [3 t]}}$

Schritt 9.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $3 t$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t]}}$

Schritt 9.3.4

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \cdot 3 \frac{d}{d t} [t]}}$

Schritt 9.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \cdot 3 \cdot 1}}$

Schritt 9.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \cdot 3}}$

Schritt 9.3.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 t}$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{3 e^{3 t}}}$

Schritt 10

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t}}}$

Schritt 11

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{e^{3 t}}$ $0$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - \frac{1}{3} \cdot 0}$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1.1

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 12.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3 \cdot 3} \cdot 0}{2 - \frac{1}{3} \cdot 0}$

Schritt 12.1.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1 + \frac{2}{9} \cdot 0}{2 - \frac{1}{3} \cdot 0}$

Schritt 12.1.2

Mutltipliziere $\frac{2}{9}$ mit $0$ .

$\frac{1 + 0}{2 - \frac{1}{3} \cdot 0}$

Schritt 12.1.3

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{2 - \frac{1}{3} \cdot 0}$

Schritt 12.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.1

Multipliziere $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

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Schritt 12.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2 + 0 (\frac{1}{3})}$

Schritt 12.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2 + 0}$

Schritt 12.2.2

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{1}{2}$