Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sin (π x)}{\cos (π x) + x}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} 4 \sin (π x)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.1

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 lim_{x \to 1} \sin (π x)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Schritt 1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{4 \sin (lim_{x \to 1} π x)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Schritt 1.2.1.3

Ziehe den Term $π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 \sin (π lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{4 \sin (π \cdot 1)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$\frac{4 \sin (π)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Schritt 1.2.3.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{4 \sin (0)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Schritt 1.2.3.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Schritt 1.2.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + lim_{x \to 1} x}$

Schritt 1.3.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 1} π x) + lim_{x \to 1} x}$

Schritt 1.3.3

Ziehe den Term $π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{\cos (π lim_{x \to 1} x) + lim_{x \to 1} x}$

Schritt 1.3.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 1.3.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{\cos (π \cdot 1) + lim_{x \to 1} x}$

Schritt 1.3.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{\cos (π \cdot 1) + 1}$

Schritt 1.3.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.5.1.1

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$\frac{0}{\cos (π) + 1}$

Schritt 1.3.5.1.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{0}{- \cos (0) + 1}$

Schritt 1.3.5.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 1 + 1}$

Schritt 1.3.5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Schritt 1.3.5.2

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.5.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.6

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sin (π x)}{\cos (π x) + x} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \sin (π x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \sin (π x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Schritt 3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \sin (π x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \frac{d}{d x} [\sin (π x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = π x$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x])}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x])}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Schritt 3.4

Entferne die Klammern.

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cos (π x) \frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Schritt 3.5

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π x$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cos (π x) (π \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cos (π x) π}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Schritt 3.8

Stelle die Faktoren von $4 \cos (π x) π$ um.

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Schritt 3.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (π x) + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\cos (π x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{\frac{d}{d x} [\cos (π x)] + \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.10

Berechne $\frac{d}{d x} [\cos (π x)]$ .

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Schritt 3.10.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = π x$ .

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Schritt 3.10.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.10.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (u) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.10.1.3

Ersetze alle $u$ durch $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.10.2

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π x$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.10.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) (π \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.10.4

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) π + \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) π + 1}$

Schritt 3.12

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- π \sin (π x) + 1}$

Schritt 4

Ziehe den Term $4 π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 π lim_{x \to 1} \frac{\cos (π x)}{- π \sin (π x) + 1}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$4 π \frac{lim_{x \to 1} \cos (π x)}{lim_{x \to 1} - π \sin (π x) + 1}$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$4 π \frac{\cos (lim_{x \to 1} π x)}{lim_{x \to 1} - π \sin (π x) + 1}$

Schritt 7

Ziehe den Term $π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} - π \sin (π x) + 1}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- lim_{x \to 1} π \sin (π x) + lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 9

Ziehe den Term $π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- π lim_{x \to 1} \sin (π x) + lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 10

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- π \sin (lim_{x \to 1} π x) + lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 11

Ziehe den Term $π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- π \sin (π lim_{x \to 1} x) + lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 12

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- π \sin (π lim_{x \to 1} x) + 1}$

Schritt 13

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 13.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$4 π \frac{\cos (π \cdot 1)}{- π \sin (π lim_{x \to 1} x) + 1}$

Schritt 13.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$4 π \frac{\cos (π \cdot 1)}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

Schritt 14

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 14.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.1.1

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$4 π \frac{\cos (π)}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

Schritt 14.1.2

$4 π \frac{- \cos (0)}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

Schritt 14.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$4 π \frac{- 1 \cdot 1}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

Schritt 14.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$4 π \frac{- 1}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

Schritt 14.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.2.1

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$4 π \frac{- 1}{- π \sin (π) + 1}$

Schritt 14.2.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$4 π \frac{- 1}{- π \sin (0) + 1}$

Schritt 14.2.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$4 π \frac{- 1}{- π \cdot 0 + 1}$

Schritt 14.2.4

Multipliziere $- π \cdot 0$ .

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Schritt 14.2.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$4 π \frac{- 1}{0 π + 1}$

Schritt 14.2.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$4 π \frac{- 1}{0 + 1}$

Schritt 14.2.5

Addiere $0$ und $1$ .

$4 π \frac{- 1}{1}$

Schritt 14.3

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$4 π \cdot - 1$

Schritt 14.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 π$