Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{16 x^{2} - 9 x}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 x}{lim_{x \to - \infty} \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}$

Schritt 1.2

Der Grenzwert im negativ Unendlichen eines Polynoms ungeraden Grades, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist minus unendlich.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}$

Schritt 1.3

Da $x$ für Wurzeln gegen $- \infty$ geht, erreicht der Wert $\infty$ .

$\frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 2

Da $\frac{- \infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{16 x^{2} - 9 x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

Schritt 3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

Schritt 3.5

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{16 x^{2} - 9 x}$ als ${(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 16 x^{2} - 9 x$ .

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Schritt 3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $16 x^{2} - 9 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Schritt 3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Schritt 3.6.3

Ersetze alle $u$ durch $16 x^{2} - 9 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Schritt 3.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Schritt 3.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Schritt 3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Schritt 3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Schritt 3.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Schritt 3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Schritt 3.12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(16 x^{2} - 9 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{{(16 x^{2} - 9 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Schritt 3.13

Bringe ${(16 x^{2} - 9 x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Schritt 3.14

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 x^{2} - 9 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x])}$

Schritt 3.15

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x^{2}$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x])}$

Schritt 3.16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x])}$

Schritt 3.17

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x + \frac{d}{d x} [- 9 x])}$

Schritt 3.18

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x - 9 \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 3.19

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x - 9 \cdot 1)}$

Schritt 3.20

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x - 9)}$

Schritt 3.21

Vereinfache.

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Schritt 3.21.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x - 9)$ um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{(32 x - 9) \frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 3.21.2

Mutltipliziere $32 x - 9$ mit $\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{32 x - 9}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to - \infty} 3 \frac{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}}{32 x - 9}$

Schritt 5

Schreibe ${(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{16 x^{2} - 9 x}$ um.

$lim_{x \to - \infty} 3 \frac{2 \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}{32 x - 9}$

Schritt 6

Vereinige Faktoren.

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Schritt 6.1

Kombiniere $3$ und $\frac{2 \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}{32 x - 9}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 (2 \sqrt{16 x^{2} - 9 x})}{32 x - 9}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}{32 x - 9}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 7.1

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{16 x^{2} - 9 x}}{32 x - 9}$

Schritt 7.2

Faktorisiere $x$ aus $16 x^{2} - 9 x$ heraus.

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $x$ aus $16 x^{2}$ heraus.

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 16 x - 9 x}}{32 x - 9}$

Schritt 7.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 9 x$ heraus.

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 16 x + x \cdot - 9}}{32 x - 9}$

Schritt 7.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (16 x) + x \cdot - 9$ heraus.

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (16 x - 9)}}{32 x - 9}$

Schritt 8

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $- \sqrt{x^{2}} = x$ ist.

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x - 9)}{x^{2}}}}{\frac{32 x}{x} + \frac{- 9}{x}}$

Schritt 9

Vereinfache jeden Term.

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x - 9)}{x^{2}}}}{32 - \frac{9}{x}}$

Schritt 10

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x - 9)}{x \cdot x}}}{32 - \frac{9}{x}}$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x - 9)}{x \cdot x}}}{32 - \frac{9}{x}}$

Schritt 10.3

Forme den Ausdruck um.

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{16 x - 9}{x}}}{32 - \frac{9}{x}}$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 11.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$6 \frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{16 x - 9}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Schritt 11.2

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$6 \frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{16 x - 9}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Schritt 11.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x - 9}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Schritt 12

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x$ ist.

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{16 x}{x} + \frac{- 9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Schritt 13

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 13.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{16 x}{x} + \frac{- 9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Schritt 13.1.1.2

Dividiere $16$ durch $1$ .

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 + \frac{- 9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Schritt 13.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 - \frac{9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 13.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 - \frac{9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Schritt 13.2.2

Forme den Ausdruck um.

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 - \frac{9}{x}}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Schritt 13.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$6 \frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{9}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Schritt 13.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$6 \frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Schritt 13.5

Berechne den Grenzwert von $16$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Schritt 13.6

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Schritt 14

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Schritt 15

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 15.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Schritt 15.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}$

Schritt 15.3

Berechne den Grenzwert von $32$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{32 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}$

Schritt 15.4

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{32 - 9 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 16

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{32 - 9 \cdot 0}$

Schritt 17

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 17.1

Dividiere $16 - 9 \cdot 0$ durch $1$ .

$6 \frac{- \sqrt{16 - 9 \cdot 0}}{32 - 9 \cdot 0}$

Schritt 17.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 17.2.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $0$ .

$6 \frac{- \sqrt{16 + 0}}{32 - 9 \cdot 0}$

Schritt 17.2.2

Addiere $16$ und $0$ .

$6 \frac{- \sqrt{16}}{32 - 9 \cdot 0}$

Schritt 17.2.3

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$6 \frac{- \sqrt{4^{2}}}{32 - 9 \cdot 0}$

Schritt 17.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$6 \frac{- 1 \cdot 4}{32 - 9 \cdot 0}$

Schritt 17.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 17.3.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $0$ .

$6 \frac{- 1 \cdot 4}{32 + 0}$

Schritt 17.3.2

Addiere $32$ und $0$ .

$6 \frac{- 1 \cdot 4}{32}$

Schritt 17.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$6 (\frac{- 4}{32})$

Schritt 17.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 17.5.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$2 (3) \frac{- 4}{32}$

Schritt 17.5.2

Faktorisiere $2$ aus $32$ heraus.

$2 \cdot 3 \frac{- 4}{2 \cdot 16}$

Schritt 17.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 3 \frac{- 4}{2 \cdot 16}$

Schritt 17.5.4

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{- 4}{16})$

Schritt 17.6

Kombiniere $3$ und $\frac{- 4}{16}$ .

$\frac{3 \cdot - 4}{16}$

Schritt 17.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$\frac{- 12}{16}$

Schritt 17.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $16$ .

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Schritt 17.8.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12$ heraus.

$\frac{4 (- 3)}{16}$

Schritt 17.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 17.8.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 4}$

Schritt 17.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 4}$

Schritt 17.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3}{4}$

Schritt 17.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{4}$