Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3} \frac{(9 - x^{2})}{\cos (\frac{π}{2} x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}{lim_{x \to 3} \cos (\frac{π}{2} x)}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} 9 - lim_{x \to 3} x^{2}}{lim_{x \to 3} \cos (\frac{π}{2} x)}$

Schritt 1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{9 - lim_{x \to 3} x^{2}}{lim_{x \to 3} \cos (\frac{π}{2} x)}$

Schritt 1.2.1.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{9 - {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}{lim_{x \to 3} \cos (\frac{π}{2} x)}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{9 - 3^{2}}{lim_{x \to 3} \cos (\frac{π}{2} x)}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 3} \cos (\frac{π}{2} x)}$

Schritt 1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to 3} \cos (\frac{π}{2} x)}$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} \cos (\frac{π}{2} x)}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 3} \frac{π}{2} x)}$

Schritt 1.3.1.2

Ziehe den Term $\frac{π}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{2} lim_{x \to 3} x)}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{2} \cdot 3)}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

Kombiniere $\frac{π}{2}$ und $3$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{π \cdot 3}{2})}$

Schritt 1.3.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{3 \cdot π}{2})}$

Schritt 1.3.3.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{2})}$

Schritt 1.3.3.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 3} \frac{(9 - x^{2})}{\cos (\frac{π}{2} x)} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{2} x)]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{2} x)]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{2} x)]}$

Schritt 3.3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{2} x)]}$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{2} x)]}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{0 - (2 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{2} x)]}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{0 - 2 x}{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{2} x)]}$

Schritt 3.5

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{2} x)]}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \frac{π}{2} x$ .

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Schritt 3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{π}{2} x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} x]}$

Schritt 3.6.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} x]}$

Schritt 3.6.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{π}{2} x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{- \sin (\frac{π}{2} x) \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} x]}$

Schritt 3.7

Kombiniere $\frac{π}{2}$ und $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{- \sin (\frac{π x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} x]}$

Schritt 3.8

Kombiniere $\frac{π}{2}$ und $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{- \sin (\frac{π x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]}$

Schritt 3.9

Da $\frac{π}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{- \sin (\frac{π x}{2}) (\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 3.10

Kombiniere $\frac{π}{2}$ und $\sin (\frac{π x}{2})$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{- \frac{π \sin (\frac{π x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{- \frac{π \sin (\frac{π x}{2})}{2} \cdot 1}$

Schritt 3.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{- \frac{π \sin (\frac{π x}{2})}{2}}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 3} - 2 x (- \frac{2}{π \sin (\frac{π x}{2})})$

Schritt 5

Vereinige Faktoren.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$lim_{x \to 3} 2 x \frac{2}{π \sin (\frac{π x}{2})}$

Schritt 5.2

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{π \sin (\frac{π x}{2})}$ .

$lim_{x \to 3} x \frac{2 \cdot 2}{π \sin (\frac{π x}{2})}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$lim_{x \to 3} x \frac{4}{π \sin (\frac{π x}{2})}$

Schritt 5.4

Kombiniere $x$ und $\frac{4}{π \sin (\frac{π x}{2})}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{x \cdot 4}{π \sin (\frac{π x}{2})}$

Schritt 6

Ziehe den Term $\frac{4}{π}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4}{π} lim_{x \to 3} \frac{x}{\sin (\frac{π x}{2})}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} \sin (\frac{π x}{2})}$

Schritt 8

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 3} x}{\sin (lim_{x \to 3} \frac{π x}{2})}$

Schritt 9

Ziehe den Term $\frac{π}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 3} x}{\sin (\frac{π}{2} lim_{x \to 3} x)}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{3}{\sin (\frac{π}{2} lim_{x \to 3} x)}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{3}{\sin (\frac{π}{2} \cdot 3)}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Separiere Brüche.

$\frac{4}{π} (\frac{3}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\frac{π}{2} \cdot 3)})$

Schritt 11.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (\frac{π}{2} \cdot 3)}$ nach $\csc (\frac{π}{2} \cdot 3)$ um.

$\frac{4}{π} (\frac{3}{1} \csc (\frac{π}{2} \cdot 3))$

Schritt 11.3

Dividiere $3$ durch $1$ .

$\frac{4}{π} (3 \csc (\frac{π}{2} \cdot 3))$

Schritt 11.4

Kombiniere $\frac{π}{2}$ und $3$ .

$\frac{4}{π} (3 \csc (\frac{π \cdot 3}{2}))$

Schritt 11.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{4}{π} (3 \csc (\frac{3 \cdot π}{2}))$

Schritt 11.6

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosekans im vierten Quadranten negativ ist.

$\frac{4}{π} (3 (- \csc (\frac{π}{2})))$

Schritt 11.7

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{4}{π} (3 (- 1 \cdot 1))$

Schritt 11.8

Multipliziere $3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 11.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{4}{π} (3 \cdot - 1)$

Schritt 11.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{4}{π} \cdot - 3$

Schritt 11.9

Multipliziere $\frac{4}{π} \cdot - 3$ .

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Schritt 11.9.1

Kombiniere $\frac{4}{π}$ und $- 3$ .

$\frac{4 \cdot - 3}{π}$

Schritt 11.9.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$\frac{- 12}{π}$

Schritt 11.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{12}{π}$