Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{\ln (x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Schritt 1.2

Da der Exponent $3 x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{3 x}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Schritt 1.3

Da der Logarithmus gegen unendlich geht, geht der Wert gegen $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{\ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $3$ mit $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 3.8

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{1}{x}}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} x$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$lim_{x \to \infty} 3 \cdot lim_{x \to \infty} e^{3 x} \cdot lim_{x \to \infty} x$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$3 \cdot lim_{x \to \infty} e^{3 x} \cdot lim_{x \to \infty} x$

Schritt 6

Da der Exponent $3 x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{3 x}$ $\infty$ an.

$3 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} x$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 7.1

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$3 \cdot \infty \cdot \infty$

Schritt 7.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.2.1

Eine Konstante ungleich Null multipliziert mit Unendlich ergibt Unendlich.

$\infty \cdot \infty$

Schritt 7.2.2

Unendlich mal Unendlich ist Unendlich.

$\infty$