Analysis Beispiele

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π}{3} + h) - \sin (\frac{π}{3})}{h}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (\frac{π}{3} + h) - \sin (\frac{π}{3})}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (\frac{π}{3} + h) - lim_{h \to 0} \sin (\frac{π}{3})}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{h \to 0} \frac{π}{3} + h) - lim_{h \to 0} \sin (\frac{π}{3})}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.2.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\sin (lim_{h \to 0} \frac{π}{3} + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \sin (\frac{π}{3})}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $\frac{π}{3}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sin (\frac{π}{3} + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \sin (\frac{π}{3})}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $\sin (\frac{π}{3})$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sin (\frac{π}{3} + lim_{h \to 0} h) - \sin (\frac{π}{3})}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{3} + 0) - \sin (\frac{π}{3})}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Addiere $\frac{π}{3}$ und $0$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{3})}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.2.3.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{π}{3})}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.2.3.1.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{\sqrt{3} - \sqrt{3}}{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.2.3.3

Subtrahiere $\sqrt{3}$ von $\sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{0}{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.2.3.4

Dividiere $0$ durch $2$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π}{3} + h) - \sin (\frac{π}{3})}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (\frac{π}{3} + h) - \sin (\frac{π}{3})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (\frac{π}{3} + h) - \sin (\frac{π}{3})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 3.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (\frac{π}{3} + h) - \frac{\sqrt{3}}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (\frac{π}{3} + h) - \frac{\sqrt{3}}{2}$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [\sin (\frac{π}{3} + h)] + \frac{d}{d h} [- \frac{\sqrt{3}}{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (\frac{π}{3} + h)] + \frac{d}{d h} [- \frac{\sqrt{3}}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d h} [\sin (\frac{π}{3} + h)]$ .

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Schritt 3.4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ ist $f' (g (h)) g' (h)$ , mit $f (h) = \sin (h)$ und $g (h) = \frac{π}{3} + h$ .

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Schritt 3.4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{π}{3} + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d h} [\frac{π}{3} + h] + \frac{d}{d h} [- \frac{\sqrt{3}}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 3.4.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d h} [\frac{π}{3} + h] + \frac{d}{d h} [- \frac{\sqrt{3}}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 3.4.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{π}{3} + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{3} + h) \frac{d}{d h} [\frac{π}{3} + h] + \frac{d}{d h} [- \frac{\sqrt{3}}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 3.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{π}{3} + h$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [\frac{π}{3}] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{3} + h) (\frac{d}{d h} [\frac{π}{3}] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \frac{\sqrt{3}}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 3.4.3

Da $\frac{π}{3}$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π}{3}$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{3} + h) (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \frac{\sqrt{3}}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 3.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{3} + h) (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- \frac{\sqrt{3}}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 3.4.5

Addiere $0$ und $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{3} + h) \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- \frac{\sqrt{3}}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 3.4.6

Mutltipliziere $\cos (\frac{π}{3} + h)$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{3} + h) + \frac{d}{d h} [- \frac{\sqrt{3}}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 3.5

Da $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{3} + h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 3.6

Addiere $\cos (\frac{π}{3} + h)$ und $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{3} + h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{3} + h)}{1}$

Schritt 4

Vereine die Terme

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Schritt 4.1

Um $h$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{3} + h \cdot \frac{3}{3})}{1}$

Schritt 4.2

Kombiniere $h$ und $\frac{3}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{3} + \frac{h \cdot 3}{3})}{1}$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π + h \cdot 3}{3})}{1}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Dividiere $\cos (\frac{π + h \cdot 3}{3})$ durch $1$ .

$lim_{h \to 0} \cos (\frac{π + h \cdot 3}{3})$

Schritt 5.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\cos (lim_{h \to 0} \frac{π + h \cdot 3}{3})$

Schritt 5.3

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\cos (\frac{1}{3} lim_{h \to 0} π + h \cdot 3)$

Schritt 5.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\cos (\frac{1}{3} (lim_{h \to 0} π + lim_{h \to 0} h \cdot 3))$

Schritt 5.5

Berechne den Grenzwert von $π$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\cos (\frac{1}{3} (π + lim_{h \to 0} h \cdot 3))$

Schritt 5.6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\cos (\frac{1}{3} (π + 3 lim_{h \to 0} h))$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\cos (\frac{1}{3} (π + 3 \cdot 0))$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\cos (\frac{1}{3} (π + 0))$

Schritt 7.2

Addiere $π$ und $0$ .

$\cos (\frac{1}{3} π)$

Schritt 7.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $π$ .

$\cos (\frac{π}{3})$

Schritt 7.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$