Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \ln (7 x) - \ln (x + 8)$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$lim_{x \to \infty} \ln (\frac{7 x}{x + 8})$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\ln (lim_{x \to \infty} \frac{7 x}{x + 8})$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\ln (7 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 8})$

Schritt 3

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x$ ist.

$\ln (7 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{8}{x}})$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (7 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{8}{x}})$

Schritt 4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{8}{x}})$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{8}{x}})$

Schritt 4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{8}{x}})$

Schritt 4.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\ln (7 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{8}{x}})$

Schritt 4.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\ln (7 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{8}{x}})$

Schritt 4.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\ln (7 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{8}{x}})$

Schritt 4.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\ln (7 \frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{8}{x}})$

Schritt 4.7

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\ln (7 \frac{1}{1 + 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\ln (7 \frac{1}{1 + 8 \cdot 0})$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$\ln (7 \frac{1}{1 + 0})$

Schritt 6.1.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\ln (7 (\frac{1}{1}))$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (7 (\frac{1}{1}))$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (7 \cdot 1)$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$\ln (7)$