Analysis Beispiele

$\sin (θ) = \frac{2}{10}$

Schritt 1

Benutze die Definition des Sinus, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\sin (θ) = \frac{gegenüber}{Hypotenuse}$

Schritt 2

Berechne die Ankathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Hypotenuse und die Gegenkathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Ankathete = \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {gegenüber}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Ankathete = \sqrt{{(10)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

Ankathete $= \sqrt{100 - {(2)}^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

Ankathete $= \sqrt{100 - 1 \cdot 4}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

Ankathete $= \sqrt{100 - 4}$

Schritt 4.4

Subtrahiere $4$ von $100$ .

Ankathete $= \sqrt{96}$

Schritt 4.5

Schreibe $96$ als $4^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $16$ aus $96$ heraus.

Ankathete $= \sqrt{16 (6)}$

Schritt 4.5.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

Ankathete $= \sqrt{4^{2} \cdot 6}$

Schritt 4.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

Ankathete $= 4 \sqrt{6}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $10$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\sin (θ) = \frac{2 (1)}{10}$

Schritt 5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\sin (θ) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = \frac{1}{5}$

Schritt 6

Berechne den Wert des Kosinus.

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Schritt 6.1

Bestimme den Wert von $\cos (θ)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (θ) = \frac{4 \sqrt{6}}{10}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $10$ .

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \sqrt{6}$ heraus.

$\cos (θ) = \frac{2 (2 \sqrt{6})}{10}$

Schritt 6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\cos (θ) = \frac{2 (2 \sqrt{6})}{2 (5)}$

Schritt 6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = \frac{2 (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Schritt 7

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 7.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (θ)$ zu ermitteln.

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (θ) = \frac{2}{4 \sqrt{6}}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Wert von $\tan (θ)$ .

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 7.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\tan (θ) = \frac{2 (1)}{4 \sqrt{6}}$

Schritt 7.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \sqrt{6}$ heraus.

$\tan (θ) = \frac{2 (1)}{2 (2 \sqrt{6})}$

Schritt 7.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (θ) = \frac{2 \cdot 1}{2 (2 \sqrt{6})}$

Schritt 7.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\tan (θ) = \frac{1}{2 \sqrt{6}}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\tan (θ) = \frac{1}{2 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Schritt 7.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{6} \sqrt{6}}$

Schritt 7.3.3.2

Bewege $\sqrt{6}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Schritt 7.3.3.3

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Schritt 7.3.3.4

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Schritt 7.3.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.3.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{2}}$

Schritt 7.3.3.7

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 7.3.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{6}}{2 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.3.3.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.3.3.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.3.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.3.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Schritt 7.3.3.7.5

Berechne den Exponenten.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Schritt 7.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{6}}{12}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\cot (θ)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (θ) = \frac{4 \sqrt{6}}{2}$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \sqrt{6}$ heraus.

$\cot (θ) = \frac{2 (2 \sqrt{6})}{2}$

Schritt 8.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\cot (θ) = \frac{2 (2 \sqrt{6})}{2 (1)}$

Schritt 8.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (θ) = \frac{2 (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{6}}{1}$

Schritt 8.3.2.4

Dividiere $2 \sqrt{6}$ durch $1$ .

$\cot (θ) = 2 \sqrt{6}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\sec (θ)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (θ) = \frac{10}{4 \sqrt{6}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Wert von $\sec (θ)$ .

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Schritt 9.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $4$ .

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Schritt 9.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\sec (θ) = \frac{2 (5)}{4 \sqrt{6}}$

Schritt 9.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \sqrt{6}$ heraus.

$\sec (θ) = \frac{2 (5)}{2 (2 \sqrt{6})}$

Schritt 9.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (θ) = \frac{2 \cdot 5}{2 (2 \sqrt{6})}$

Schritt 9.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sec (θ) = \frac{5}{2 \sqrt{6}}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $\frac{5}{2 \sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sec (θ) = \frac{5}{2 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Schritt 9.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{5}{2 \sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sec (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{2 \sqrt{6} \sqrt{6}}$

Schritt 9.3.3.2

Bewege $\sqrt{6}$ .

$\sec (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Schritt 9.3.3.3

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\sec (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Schritt 9.3.3.4

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\sec (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Schritt 9.3.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{2}}$

Schritt 9.3.3.7

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 9.3.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sec (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{2 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.3.3.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.3.3.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sec (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.3.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Schritt 9.3.3.7.5

Berechne den Exponenten.

$\sec (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Schritt 9.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\sec (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{12}$

Schritt 10

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 10.1

Bestimme den Wert von $\csc (θ)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 10.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (θ) = \frac{10}{2}$

Schritt 10.3

Dividiere $10$ durch $2$ .

$\csc (θ) = 5$

Schritt 11

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (θ) = \frac{1}{5}$

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{6}}{12}$

$\cot (θ) = 2 \sqrt{6}$

$\sec (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{12}$

$\csc (θ) = 5$