Analysis Beispiele

$\sec (0) = (\frac{7}{2})$

Schritt 1

Benutze die Definition des Sekans, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\sec (0) = \frac{Hypotenuse}{Ankathete}$

Schritt 2

Berechne die Gegenkathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Ankathete und die Hypotenuse bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Gegenüberliegend = - \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {Ankathete}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Gegenüberliegend = - \sqrt{{(\frac{7}{2})}^{2} - {(1)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Kehre das Vorzeichen von $\sqrt{{(\frac{7}{2})}^{2} - {(1)}^{2}}$ um.

Gegenkathete $= - \sqrt{{(\frac{7}{2})}^{2} - {(1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{2}$ an.

Gegenkathete $= - \sqrt{\frac{7^{2}}{2^{2}} - {(1)}^{2}}$

Schritt 4.3

Potenziere $7$ mit $2$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{\frac{49}{2^{2}} - {(1)}^{2}}$

Schritt 4.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{\frac{49}{4} - {(1)}^{2}}$

Schritt 4.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

Gegenkathete $= - \sqrt{\frac{49}{4} - 1 \cdot 1}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{\frac{49}{4} - 1}$

Schritt 4.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{\frac{49}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

Schritt 4.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{\frac{49}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

Schritt 4.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

Gegenkathete $= - \sqrt{\frac{49 - 1 \cdot 4}{4}}$

Schritt 4.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{\frac{49 - 4}{4}}$

Schritt 4.10.2

Subtrahiere $4$ von $49$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{\frac{45}{4}}$

Schritt 4.11

Schreibe $\sqrt{\frac{45}{4}}$ als $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$ um.

Gegenkathete $= - \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$

Schritt 4.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.12.1

Schreibe $45$ als $3^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 4.12.1.1

Faktorisiere $9$ aus $45$ heraus.

Gegenkathete $= - \frac{\sqrt{9 (5)}}{\sqrt{4}}$

Schritt 4.12.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

Gegenkathete $= - \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 5}}{\sqrt{4}}$

Schritt 4.12.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

Gegenkathete $= - \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{4}}$

Schritt 4.13

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.13.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

Gegenkathete $= - \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 4.13.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

Gegenkathete $= - \frac{3 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 5

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 5.1

Bestimme den Wert von $\sin (0)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (0) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (0) = \frac{- \frac{3 \sqrt{5}}{2}}{\frac{7}{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Wert von $\sin (0)$ .

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Schritt 5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sin (0) = - \frac{3 \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{7}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 \sqrt{5}}{2}$ in den Zähler.

$\sin (0) = \frac{- 3 \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{7}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (0) = \frac{- 3 \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{7}$

Schritt 5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (0) = - 3 \sqrt{5} \frac{1}{7}$

Schritt 5.3.3

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $- 3$ .

$\sin (0) = \frac{- 3}{7} \cdot \sqrt{5}$

Schritt 5.3.4

Kombiniere $\frac{- 3}{7}$ und $\sqrt{5}$ .

$\sin (0) = \frac{- 3 \sqrt{5}}{7}$

Schritt 5.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (0) = - \frac{3 \sqrt{5}}{7}$

Schritt 6

Berechne den Wert des Kosinus.

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Schritt 6.1

Bestimme den Wert von $\cos (0)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (0) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (0) = \frac{1}{\frac{7}{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Wert von $\cos (0)$ .

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Schritt 6.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\cos (0) = 1 (\frac{2}{7})$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $\frac{2}{7}$ mit $1$ .

$\cos (0) = \frac{2}{7}$

Schritt 7

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 7.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (0)$ zu ermitteln.

$\tan (0) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (0) = \frac{- \frac{3 \sqrt{5}}{2}}{1}$

Schritt 7.3

Dividiere $- \frac{3 \sqrt{5}}{2}$ durch $1$ .

$\tan (0) = - \frac{3 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\cot (0)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (0) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (0) = \frac{1}{- \frac{3 \sqrt{5}}{2}}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Wert von $\cot (0)$ .

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Schritt 8.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 8.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\cot (0) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{3 \sqrt{5}}{2}}$

Schritt 8.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cot (0) = - \frac{1}{\frac{3 \sqrt{5}}{2}}$

Schritt 8.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\cot (0) = - (1 (\frac{2}{3 \sqrt{5}}))$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere $\frac{2}{3 \sqrt{5}}$ mit $1$ .

$\cot (0) = - \frac{2}{3 \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.4

Mutltipliziere $\frac{2}{3 \sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cot (0) = - (\frac{2}{3 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Schritt 8.3.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3 \sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cot (0) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 \sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 8.3.5.2

Bewege $\sqrt{5}$ .

$\cot (0) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Schritt 8.3.5.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\cot (0) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Schritt 8.3.5.4

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\cot (0) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Schritt 8.3.5.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cot (0) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.3.5.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\cot (0) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 {\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 8.3.5.7

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 8.3.5.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cot (0) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.3.5.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (0) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.3.5.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cot (0) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.5.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.5.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (0) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.5.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cot (0) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 \cdot 5}$

Schritt 8.3.5.7.5

Berechne den Exponenten.

$\cot (0) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 \cdot 5}$

Schritt 8.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\cot (0) = - \frac{2 \sqrt{5}}{15}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\csc (0)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (0) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (0) = \frac{\frac{7}{2}}{- \frac{3 \sqrt{5}}{2}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Wert von $\csc (0)$ .

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Schritt 9.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\csc (0) = \frac{7}{2} \cdot (- \frac{2}{3 \sqrt{5}})$

Schritt 9.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{3 \sqrt{5}}$ in den Zähler.

$\csc (0) = \frac{7}{2} \cdot \frac{- 2}{3 \sqrt{5}}$

Schritt 9.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\csc (0) = \frac{7}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{3 \sqrt{5}}$

Schritt 9.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (0) = \frac{7}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{3 \sqrt{5}}$

Schritt 9.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\csc (0) = 7 (\frac{- 1}{3 \sqrt{5}})$

Schritt 9.3.3

Kombiniere $7$ und $\frac{- 1}{3 \sqrt{5}}$ .

$\csc (0) = \frac{7 \cdot - 1}{3 \sqrt{5}}$

Schritt 9.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.3.4.1

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$\csc (0) = \frac{- 7}{3 \sqrt{5}}$

Schritt 9.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\csc (0) = - \frac{7}{3 \sqrt{5}}$

Schritt 9.3.5

Mutltipliziere $\frac{7}{3 \sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (0) = - (\frac{7}{3 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Schritt 9.3.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.6.1

Mutltipliziere $\frac{7}{3 \sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (0) = - \frac{7 \sqrt{5}}{3 \sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 9.3.6.2

Bewege $\sqrt{5}$ .

$\csc (0) = - \frac{7 \sqrt{5}}{3 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Schritt 9.3.6.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\csc (0) = - \frac{7 \sqrt{5}}{3 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Schritt 9.3.6.4

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\csc (0) = - \frac{7 \sqrt{5}}{3 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Schritt 9.3.6.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (0) = - \frac{7 \sqrt{5}}{3 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.6.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc (0) = - \frac{7 \sqrt{5}}{3 {\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 9.3.6.7

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 9.3.6.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\csc (0) = - \frac{7 \sqrt{5}}{3 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.3.6.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (0) = - \frac{7 \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.3.6.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\csc (0) = - \frac{7 \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.6.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.6.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (0) = - \frac{7 \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.6.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (0) = - \frac{7 \sqrt{5}}{3 \cdot 5}$

Schritt 9.3.6.7.5

Berechne den Exponenten.

$\csc (0) = - \frac{7 \sqrt{5}}{3 \cdot 5}$

Schritt 9.3.7

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\csc (0) = - \frac{7 \sqrt{5}}{15}$

Schritt 10

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (0) = - \frac{3 \sqrt{5}}{7}$

$\cos (0) = \frac{2}{7}$

$\tan (0) = - \frac{3 \sqrt{5}}{2}$

$\cot (0) = - \frac{2 \sqrt{5}}{15}$

$\sec (0) = \frac{7}{2}$

$\csc (0) = - \frac{7 \sqrt{5}}{15}$