Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{64 x^{2} - 25}{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 64 x^{2} - 25$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [64 x^{2} - 25] - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $64 x^{2} - 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Da $64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $64 x^{2}$ nach $x$ gleich $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x (64 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 25]) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$\frac{x (128 x + \frac{d}{d x} [- 25]) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Da $- 25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x (128 x + 0) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Addiere $128 x$ und $0$ .

$\frac{x (128 x) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{128 (x^{1} x) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{128 (x^{1} x^{1}) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{128 x^{1 + 1} - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{128 x^{2} - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{128 x^{2} - (64 x^{2} - 25) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{128 x^{2} - (64 x^{2} - 25)}{x^{2}}$

Schritt 1.1.9

Vereinfache.

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Schritt 1.1.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{128 x^{2} - (64 x^{2}) - - 25}{x^{2}}$

Schritt 1.1.9.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.9.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.9.2.1.1

Mutltipliziere $64$ mit $- 1$ .

$\frac{128 x^{2} - 64 x^{2} - - 25}{x^{2}}$

Schritt 1.1.9.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 25$ .

$\frac{128 x^{2} - 64 x^{2} + 25}{x^{2}}$

Schritt 1.1.9.2.2

Subtrahiere $64 x^{2}$ von $128 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{64 x^{2} + 25}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{64 x^{2} + 25}{x^{2}}$ .

$\frac{64 x^{2} + 25}{x^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{64 x^{2} + 25}{x^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{64 x^{2} + 25}{x^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$64 x^{2} + 25 = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$64 x^{2} = - 25$

Schritt 2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $64 x^{2} = - 25$ durch $64$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $64 x^{2} = - 25$ durch $64$ .

$\frac{64 x^{2}}{64} = \frac{- 25}{64}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $64$ .

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Schritt 2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{64 x^{2}}{64} = \frac{- 25}{64}$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 25}{64}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{25}{64}$

Schritt 2.3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- \frac{25}{64}}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{25}{64}}$ .

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Schritt 2.3.4.1

Schreibe $- \frac{25}{64}$ als ${(\frac{5 i}{8})}^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{{(\frac{5 i}{8})}^{2}}$

Schritt 2.3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{5 i}{8}$

Schritt 2.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{5 i}{8}$

Schritt 2.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{5 i}{8}$

Schritt 2.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{5 i}{8}, - \frac{5 i}{8}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{64 x^{2} + 25}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4

Werte $\frac{64 x^{2} - 25}{x}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\frac{64 {(0)}^{2} - 25}{0}$

Schritt 4.1.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 5

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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