Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 9}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 8 x + 16$ und $g (x) = x - 9$ .

$\frac{(x - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16] - (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 8 x + 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{(x - 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]) - (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x - 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]) - (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 9) (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]) - (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x - 9) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]) - (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$\frac{(x - 9) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [16]) - (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x - 9) (2 x - 8 + 0) - (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7

Addiere $2 x - 8$ und $0$ .

$\frac{(x - 9) (2 x - 8) - (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(x - 9) (2 x - 8) - (x^{2} - 8 x + 16) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x - 9) (2 x - 8) - (x^{2} - 8 x + 16) (1 + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.10

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x - 9) (2 x - 8) - (x^{2} - 8 x + 16) (1 + 0)}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x - 9) (2 x - 8) - (x^{2} - 8 x + 16) \cdot 1}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(x - 9) (2 x - 8) - (x^{2} - 8 x + 16)}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x - 9) (2 x - 8) - x^{2} - (- 8 x) - 1 \cdot 16}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.2.1.1

Multipliziere $(x - 9) (2 x - 8)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x - 8) - 9 (2 x - 8) - x^{2} - (- 8 x) - 1 \cdot 16}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 8 - 9 (2 x - 8) - x^{2} - (- 8 x) - 1 \cdot 16}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 8 - 9 (2 x) - 9 \cdot - 8 - x^{2} - (- 8 x) - 1 \cdot 16}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.2.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 8 - 9 (2 x) - 9 \cdot - 8 - x^{2} - (- 8 x) - 1 \cdot 16}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.2.1.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 8 - 9 (2 x) - 9 \cdot - 8 - x^{2} - (- 8 x) - 1 \cdot 16}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 8 - 9 (2 x) - 9 \cdot - 8 - x^{2} - (- 8 x) - 1 \cdot 16}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.1.3

Bringe $- 8$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 \cdot x - 9 (2 x) - 9 \cdot - 8 - x^{2} - (- 8 x) - 1 \cdot 16}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x - 18 x - 9 \cdot - 8 - x^{2} - (- 8 x) - 1 \cdot 16}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 8$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x - 18 x + 72 - x^{2} - (- 8 x) - 1 \cdot 16}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.2

Subtrahiere $18 x$ von $- 8 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 26 x + 72 - x^{2} - (- 8 x) - 1 \cdot 16}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 26 x + 72 - x^{2} + 8 x - 1 \cdot 16}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$\frac{2 x^{2} - 26 x + 72 - x^{2} + 8 x - 16}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 26 x + 72 + 8 x - 16}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.3

Addiere $- 26 x$ und $8 x$ .

$\frac{x^{2} - 18 x + 72 - 16}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.4

Subtrahiere $16$ von $72$ .

$\frac{x^{2} - 18 x + 56}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Faktorisiere $x^{2} - 18 x + 56$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $56$ und deren Summe $- 18$ ist.

$- 14, - 4$

Schritt 1.1.3.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f' (x) = \frac{(x - 14) (x - 4)}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{(x - 14) (x - 4)}{{(x - 9)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 14) (x - 4)}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{(x - 14) (x - 4)}{{(x - 9)}^{2}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{(x - 14) (x - 4)}{{(x - 9)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$(x - 14) (x - 4) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 14 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 2.3.2

Setze $x - 14$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Setze $x - 14$ gleich $0$ .

$x - 14 = 0$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $14$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 14$

Schritt 2.3.3

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 2.3.3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 14) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 14, 4$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{(x - 14) (x - 4)}{{(x - 9)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 9)}^{2} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Setze $x - 9$ gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

Schritt 3.2.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9$

Schritt 4

Werte $\frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 9}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Berechne bei $x = 14$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $14$ .

$\frac{{(14)}^{2} - 8 \cdot 14 + 16}{(14) - 9}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.1

Potenziere $14$ mit $2$ .

$\frac{196 - 8 \cdot 14 + 16}{14 - 9}$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $14$ .

$\frac{196 - 112 + 16}{14 - 9}$

Schritt 4.1.2.1.3

Subtrahiere $112$ von $196$ .

$\frac{84 + 16}{14 - 9}$

Schritt 4.1.2.1.4

Addiere $84$ und $16$ .

$\frac{100}{14 - 9}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.2.1

Subtrahiere $9$ von $14$ .

$\frac{100}{5}$

Schritt 4.1.2.2.2

Dividiere $100$ durch $5$ .

$20$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $4$ .

$\frac{{(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 16}{(4) - 9}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{16 - 8 \cdot 4 + 16}{4 - 9}$

Schritt 4.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $4$ .

$\frac{16 - 32 + 16}{4 - 9}$

Schritt 4.2.2.1.3

Subtrahiere $32$ von $16$ .

$\frac{- 16 + 16}{4 - 9}$

Schritt 4.2.2.1.4

Addiere $- 16$ und $16$ .

$\frac{0}{4 - 9}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1

Subtrahiere $9$ von $4$ .

$\frac{0}{- 5}$

Schritt 4.2.2.2.2

Dividiere $0$ durch $- 5$ .

$0$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $9$ .

$\frac{{(9)}^{2} - 8 \cdot 9 + 16}{(9) - 9}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$\frac{{(9)}^{2} - 8 \cdot 9 + 16}{0}$

Schritt 4.3.2.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(14, 20), (4, 0)$

Schritt 5