Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{3} x^{3} - x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3} x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 1.1.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 1.1.2.4

Kombiniere $\frac{3}{3}$ und $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 1.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 1.1.2.5.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Schritt 1.1.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 1.1.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.1.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.1.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Schritt 1.1.3.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Schritt 1.1.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.3.8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$x^{2} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 1.1.3.9

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x^{2} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x^{2} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$x^{2} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x^{2} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$x^{2} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$

Schritt 2.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$3 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $x^{2} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ mit $3 x^{\frac{1}{3}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $x^{2} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ mit $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{2} (3 x^{\frac{1}{3}}) - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x^{2} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Bewege $x^{\frac{1}{3}}$ .

$3 (x^{\frac{1}{3}} x^{2}) - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{\frac{1}{3} + 2} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$3 x^{\frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.2.4

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$3 x^{\frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x^{\frac{1 + 2 \cdot 3}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.1.2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$3 x^{\frac{1 + 6}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.2.6.2

Addiere $1$ und $6$ .

$3 x^{\frac{7}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ in den Zähler.

$3 x^{\frac{7}{3}} + \frac{- 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x^{\frac{7}{3}} + \frac{- 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$3 x^{\frac{7}{3}} - 2 = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Multipliziere $0 (3 x^{\frac{1}{3}})$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$3 x^{\frac{7}{3}} - 2 = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.3.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ .

$3 x^{\frac{7}{3}} - 2 = 0$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{\frac{7}{3}} = 2$

Schritt 2.4.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{3}{7}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(3 x^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}} = 2^{\frac{3}{7}}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Vereinfache ${(3 x^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ .

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Schritt 2.4.3.1.1

Wende die Produktregel auf $3 x^{\frac{7}{3}}$ an.

$3^{\frac{3}{7}} {(x^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}} = 2^{\frac{3}{7}}$

Schritt 2.4.3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ .

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Schritt 2.4.3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{3}{7}} x^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = 2^{\frac{3}{7}}$

Schritt 2.4.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 2.4.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3^{\frac{3}{7}} x^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = 2^{\frac{3}{7}}$

Schritt 2.4.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$3^{\frac{3}{7}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{\frac{3}{7}}$

Schritt 2.4.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.3.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3^{\frac{3}{7}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{\frac{3}{7}}$

Schritt 2.4.3.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$3^{\frac{3}{7}} x^{1} = 2^{\frac{3}{7}}$

Schritt 2.4.3.1.3

Vereinfache.

$3^{\frac{3}{7}} x = 2^{\frac{3}{7}}$

Schritt 2.4.3.1.4

Stelle die Faktoren in $3^{\frac{3}{7}} x$ um.

$x \cdot 3^{\frac{3}{7}} = 2^{\frac{3}{7}}$

Schritt 2.4.4

Teile jeden Ausdruck in $x \cdot 3^{\frac{3}{7}} = 2^{\frac{3}{7}}$ durch $3^{\frac{3}{7}}$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x \cdot 3^{\frac{3}{7}} = 2^{\frac{3}{7}}$ durch $3^{\frac{3}{7}}$ .

$\frac{x \cdot 3^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}} = \frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}}$

Schritt 2.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot 3^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}} = \frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}}$

Schritt 2.4.4.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$x^{2} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Schritt 3.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$x^{2} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

Schritt 3.2

Setze den Nenner in $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Vereinfache ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 x^{\frac{1}{3}}$ an.

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$27 x = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$27 x = 0$

Schritt 3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $27 x = 0$ durch $27$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $27 x = 0$ durch $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

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Schritt 3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Schritt 3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.3.1

Dividiere $0$ durch $27$ .

$x = 0$

Schritt 4

Werte $\frac{1}{3} x^{3} - x^{\frac{2}{3}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = \frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}})}^{3} - {(\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}}$ an.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(2^{\frac{3}{7}})}^{3}}{{(3^{\frac{3}{7}})}^{3}} - {(\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2.1.2

Kombinieren.

$\frac{1 {(2^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 {(3^{\frac{3}{7}})}^{3}} - {(\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2.1.3

Mutltipliziere ${(2^{\frac{3}{7}})}^{3}$ mit $1$ .

$\frac{{(2^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 {(3^{\frac{3}{7}})}^{3}} - {(\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{\frac{3}{7}})}^{3}$ .

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Schritt 4.1.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 \cdot 3^{\frac{3}{7} \cdot 3}} - {(\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2.1.4.2

Multipliziere $\frac{3}{7} \cdot 3$ .

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Schritt 4.1.2.1.4.2.1

Kombiniere $\frac{3}{7}$ und $3$ .

$\frac{{(2^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 \cdot 3^{\frac{3 \cdot 3}{7}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2.1.4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{{(2^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 \cdot 3^{\frac{9}{7}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2.1.5

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{\frac{3}{7}})}^{3}$ .

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Schritt 4.1.2.1.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{7} \cdot 3}}{3 \cdot 3^{\frac{9}{7}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2.1.5.2

Multipliziere $\frac{3}{7} \cdot 3$ .

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Schritt 4.1.2.1.5.2.1

Kombiniere $\frac{3}{7}$ und $3$ .

$\frac{2^{\frac{3 \cdot 3}{7}}}{3 \cdot 3^{\frac{9}{7}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2.1.5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 3^{\frac{9}{7}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2.1.6

Multipliziere $3$ mit $3^{\frac{9}{7}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.2.1.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $3^{\frac{9}{7}}$ .

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Schritt 4.1.2.1.6.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{1} \cdot 3^{\frac{9}{7}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2.1.6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{1 + \frac{9}{7}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2.1.6.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{\frac{7}{7} + \frac{9}{7}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2.1.6.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{\frac{7 + 9}{7}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2.1.6.4

Addiere $7$ und $9$ .

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2.1.7

Wende die Produktregel auf $\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}}$ an.

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}} - \frac{{(2^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}{{(3^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.1.2.1.8

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 4.1.2.1.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}} - \frac{2^{\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}}}{{(3^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.1.2.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.2.1.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}} - \frac{2^{\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}}}{{(3^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.1.2.1.8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}} - \frac{2^{\frac{1}{7} \cdot 2}}{{(3^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.1.2.1.8.3

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $2$ .

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}} - \frac{2^{\frac{2}{7}}}{{(3^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.1.2.1.9

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 4.1.2.1.9.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}} - \frac{2^{\frac{2}{7}}}{3^{\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}}}$

Schritt 4.1.2.1.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.2.1.9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}} - \frac{2^{\frac{2}{7}}}{3^{\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}}}$

Schritt 4.1.2.1.9.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}} - \frac{2^{\frac{2}{7}}}{3^{\frac{1}{7} \cdot 2}}$

Schritt 4.1.2.1.9.3

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $2$ .

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}} - \frac{2^{\frac{2}{7}}}{3^{\frac{2}{7}}}$

Schritt 4.1.2.2

Um $- \frac{2^{\frac{2}{7}}}{3^{\frac{2}{7}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3^{\frac{14}{7}}}{3^{\frac{14}{7}}}$ .

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}} - \frac{2^{\frac{2}{7}}}{3^{\frac{2}{7}}} \cdot \frac{3^{\frac{14}{7}}}{3^{\frac{14}{7}}}$

Schritt 4.1.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $3^{\frac{16}{7}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{2^{\frac{2}{7}}}{3^{\frac{2}{7}}}$ mit $\frac{3^{\frac{14}{7}}}{3^{\frac{14}{7}}}$ .

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}} - \frac{2^{\frac{2}{7}} \cdot 3^{\frac{14}{7}}}{3^{\frac{2}{7}} \cdot 3^{\frac{14}{7}}}$

Schritt 4.1.2.3.2

Multipliziere $3^{\frac{2}{7}}$ mit $3^{\frac{14}{7}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.2.3.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}} - \frac{2^{\frac{2}{7}} \cdot 3^{\frac{14}{7}}}{3^{\frac{2}{7} + \frac{14}{7}}}$

Schritt 4.1.2.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}} - \frac{2^{\frac{2}{7}} \cdot 3^{\frac{14}{7}}}{3^{\frac{2 + 14}{7}}}$

Schritt 4.1.2.3.2.3

Addiere $2$ und $14$ .

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}} - \frac{2^{\frac{2}{7}} \cdot 3^{\frac{14}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}}$

Schritt 4.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2^{\frac{9}{7}} - 2^{\frac{2}{7}} \cdot 3^{\frac{14}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}}$

Schritt 4.1.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $14$ und $7$ .

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Schritt 4.1.2.4.2.1

Faktorisiere $7$ aus $14$ heraus.

$\frac{2^{\frac{9}{7}} - 2^{\frac{2}{7}} \cdot 3^{\frac{7 \cdot 2}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}}$

Schritt 4.1.2.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.4.2.2.1

Faktorisiere $7$ aus $7$ heraus.

$\frac{2^{\frac{9}{7}} - 2^{\frac{2}{7}} \cdot 3^{\frac{7 \cdot 2}{7 (1)}}}{3^{\frac{16}{7}}}$

Schritt 4.1.2.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2^{\frac{9}{7}} - 2^{\frac{2}{7}} \cdot 3^{\frac{7 \cdot 2}{7 \cdot 1}}}{3^{\frac{16}{7}}}$

Schritt 4.1.2.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2^{\frac{9}{7}} - 2^{\frac{2}{7}} \cdot 3^{\frac{2}{1}}}{3^{\frac{16}{7}}}$

Schritt 4.1.2.4.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{2^{\frac{9}{7}} - 2^{\frac{2}{7}} \cdot 3^{2}}{3^{\frac{16}{7}}}$

Schritt 4.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.5.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{2^{\frac{9}{7}} - 2^{\frac{2}{7}} \cdot 9}{3^{\frac{16}{7}}}$

Schritt 4.1.2.5.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{2^{\frac{9}{7}} - 9 \cdot 2^{\frac{2}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(0)}^{3} - {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0 - {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $0$ .

$0 - {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.2.1.3

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$0 - {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.2.1.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 4.2.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 - 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 4.2.2.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$0 - 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 0$

Schritt 4.2.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 + 0$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}}, \frac{2^{\frac{9}{7}} - 9 \cdot 2^{\frac{2}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}}), (0, 0)$

Schritt 5