Analysis Beispiele

$s (x) = {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \frac{3 x - 6}{2 x + 6}$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{3 x - 6}{2 x + 6}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 6}{2 x + 6}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 6}{2 x + 6}]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{3 x - 6}{2 x + 6}$ .

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 6}{2 x + 6}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 3 x - 6$ und $g (x) = 2 x + 6$ .

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{(2 x + 6) \frac{d}{d x} [3 x - 6] - (3 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6]}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{(2 x + 6) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (3 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6]}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{(2 x + 6) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (3 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6]}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{(2 x + 6) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (3 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6]}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{(2 x + 6) (3 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (3 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6]}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Schritt 1.3.5

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{(2 x + 6) (3 + 0) - (3 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6]}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Schritt 1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.6.1

Addiere $3$ und $0$ .

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{(2 x + 6) \cdot 3 - (3 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6]}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $2 x + 6$ .

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{3 \cdot (2 x + 6) - (3 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6]}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Schritt 1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{3 (2 x + 6) - (3 x - 6) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Schritt 1.3.8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{3 (2 x + 6) - (3 x - 6) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Schritt 1.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{3 (2 x + 6) - (3 x - 6) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Schritt 1.3.10

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{3 (2 x + 6) - (3 x - 6) (2 + \frac{d}{d x} [6])}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Schritt 1.3.11

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{3 (2 x + 6) - (3 x - 6) (2 + 0)}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Schritt 1.3.12

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.3.12.1

Addiere $2$ und $0$ .

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{3 (2 x + 6) - (3 x - 6) \cdot 2}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Schritt 1.3.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{3 (2 x + 6) - 2 (3 x - 6)}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Schritt 1.3.12.3

Kombiniere $\frac{3 (2 x + 6) - 2 (3 x - 6)}{{(2 x + 6)}^{2}}$ und $3$ .

$\frac{(3 (2 x + 6) - 2 (3 x - 6)) \cdot 3}{{(2 x + 6)}^{2}} {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2}$

Schritt 1.3.12.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $3 (2 x + 6) - 2 (3 x - 6)$ .

$\frac{3 \cdot (3 (2 x + 6) - 2 (3 x - 6))}{{(2 x + 6)}^{2}} {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 x - 6}{2 x + 6}$ an.

$\frac{3 (3 (2 x + 6) - 2 (3 x - 6))}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Schritt 1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (3 (2 x) + 3 \cdot 6 - 2 (3 x - 6))}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Schritt 1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (3 (2 x) + 3 \cdot 6 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 6)}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Schritt 1.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (3 (2 x)) + 3 (3 \cdot 6) + 3 (- 2 (3 x)) + 3 (- 2 \cdot - 6)}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Schritt 1.4.5

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{3 (6 x) + 3 (3 \cdot 6) + 3 (- 2 (3 x)) + 3 (- 2 \cdot - 6)}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$\frac{18 x + 3 (3 \cdot 6) + 3 (- 2 (3 x)) + 3 (- 2 \cdot - 6)}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\frac{18 x + 3 \cdot 18 + 3 (- 2 (3 x)) + 3 (- 2 \cdot - 6)}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.4

Mutltipliziere $3$ mit $18$ .

$\frac{18 x + 54 + 3 (- 2 (3 x)) + 3 (- 2 \cdot - 6)}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{18 x + 54 + 3 (- 6 x) + 3 (- 2 \cdot - 6)}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.6

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$\frac{18 x + 54 - 18 x + 3 (- 2 \cdot - 6)}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 6$ .

$\frac{18 x + 54 - 18 x + 3 \cdot 12}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.8

Mutltipliziere $3$ mit $12$ .

$\frac{18 x + 54 - 18 x + 36}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.9

Subtrahiere $18 x$ von $18 x$ .

$\frac{0 + 54 + 36}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.10

Addiere $0$ und $54$ .

$\frac{54 + 36}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.11

Addiere $54$ und $36$ .

$\frac{90}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.12

Mutltipliziere $\frac{90}{{(2 x + 6)}^{2}}$ mit $\frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$ .

$\frac{90 {(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2} {(2 x + 6)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.13

Multipliziere ${(2 x + 6)}^{2}$ mit ${(2 x + 6)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.5.13.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{90 {(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2 + 2}}$

Schritt 1.4.5.13.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{90 {(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{4}}$

Schritt 1.4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.6.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x - 6$ heraus.

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Schritt 1.4.6.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{90 {(3 (x) - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{4}}$

Schritt 1.4.6.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{90 {(3 x + 3 \cdot - 2)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{4}}$

Schritt 1.4.6.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot - 2$ heraus.

$\frac{90 {(3 (x - 2))}^{2}}{{(2 x + 6)}^{4}}$

Schritt 1.4.6.2

Wende die Produktregel auf $3 (x - 2)$ an.

$\frac{90 \cdot 3^{2} {(x - 2)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{4}}$

Schritt 1.4.6.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{90 \cdot 9 {(x - 2)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{4}}$

Schritt 1.4.6.4

Mutltipliziere $90$ mit $9$ .

$\frac{810 {(x - 2)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{4}}$

Schritt 1.4.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.7.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 6$ heraus.

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Schritt 1.4.7.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{810 {(x - 2)}^{2}}{{(2 (x) + 6)}^{4}}$

Schritt 1.4.7.1.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{810 {(x - 2)}^{2}}{{(2 x + 2 \cdot 3)}^{4}}$

Schritt 1.4.7.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot 3$ heraus.

$\frac{810 {(x - 2)}^{2}}{{(2 (x + 3))}^{4}}$

Schritt 1.4.7.2

Wende die Produktregel auf $2 (x + 3)$ an.

$\frac{810 {(x - 2)}^{2}}{2^{4} {(x + 3)}^{4}}$

Schritt 1.4.7.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{810 {(x - 2)}^{2}}{16 {(x + 3)}^{4}}$

Schritt 1.4.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $810$ und $16$ .

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Schritt 1.4.8.1

Faktorisiere $2$ aus $810 {(x - 2)}^{2}$ heraus.

$\frac{2 (405 {(x - 2)}^{2})}{16 {(x + 3)}^{4}}$

Schritt 1.4.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16 {(x + 3)}^{4}$ heraus.

$\frac{2 (405 {(x - 2)}^{2})}{2 (8 {(x + 3)}^{4})}$

Schritt 1.4.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (405 {(x - 2)}^{2})}{2 (8 {(x + 3)}^{4})}$

Schritt 1.4.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{405 {(x - 2)}^{2}}{8 {(x + 3)}^{4}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $\frac{405}{8}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{405 {(x - 2)}^{2}}{8 {(x + 3)}^{4}}$ nach $x$ gleich $\frac{405}{8} \frac{d}{d x} [\frac{{(x - 2)}^{2}}{{(x + 3)}^{4}}]$ .

$\frac{405}{8} \frac{d}{d x} [\frac{{(x - 2)}^{2}}{{(x + 3)}^{4}}]$

Schritt 2.2

$\frac{405}{8} \cdot \frac{{(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}] - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{({(x + 3)}^{4})}^{2}}$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 3)}^{4})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{{(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}] - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{(x + 3)}^{4 \cdot 2}}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{{(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}] - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{(x + 3)}^{8}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 2$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x - 2$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{{(x + 3)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 2]) - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{(x + 3)}^{8}}$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{{(x + 3)}^{4} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x - 2]) - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{(x + 3)}^{8}}$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - 2$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{{(x + 3)}^{4} (2 (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]) - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{(x + 3)}^{8}}$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x + 3)}^{4}$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 \cdot {(x + 3)}^{4} (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2] - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{(x + 3)}^{8}}$

Schritt 2.5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{(x + 3)}^{8}}$

Schritt 2.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{(x + 3)}^{8}}$

Schritt 2.5.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) (1 + 0) - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{(x + 3)}^{8}}$

Schritt 2.5.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) \cdot 1 - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{(x + 3)}^{8}}$

Schritt 2.5.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{(x + 3)}^{8}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = x + 3$ .

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Schritt 2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x + 3$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [x + 3])}{{(x + 3)}^{8}}$

Schritt 2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - {(x - 2)}^{2} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [x + 3])}{{(x + 3)}^{8}}$

Schritt 2.6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + 3$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - {(x - 2)}^{2} (4 {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 3])}{{(x + 3)}^{8}}$

Schritt 2.7

Differenziere.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - 4 {(x - 2)}^{2} ({(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 3])}{{(x + 3)}^{8}}$

Schritt 2.7.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - 4 {(x - 2)}^{2} ({(x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(x + 3)}^{8}}$

Schritt 2.7.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - 4 {(x - 2)}^{2} ({(x + 3)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [3]))}{{(x + 3)}^{8}}$

Schritt 2.7.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - 4 {(x - 2)}^{2} ({(x + 3)}^{3} (1 + 0))}{{(x + 3)}^{8}}$

Schritt 2.7.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.7.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - 4 {(x - 2)}^{2} ({(x + 3)}^{3} \cdot 1)}{{(x + 3)}^{8}}$

Schritt 2.7.5.2

Mutltipliziere ${(x + 3)}^{3}$ mit $1$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - 4 {(x - 2)}^{2} {(x + 3)}^{3}}{{(x + 3)}^{8}}$

Schritt 2.7.5.3

Mutltipliziere $\frac{405}{8}$ mit $\frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - 4 {(x - 2)}^{2} {(x + 3)}^{3}}{{(x + 3)}^{8}}$ .

$\frac{405 (2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - 4 {(x - 2)}^{2} {(x + 3)}^{3})}{8 {(x + 3)}^{8}}$

Schritt 2.8

Vereinfache.

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Schritt 2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{405 (2 {(x + 3)}^{4} (x - 2)) + 405 (- 4 {(x - 2)}^{2} {(x + 3)}^{3})}{8 {(x + 3)}^{8}}$

Schritt 2.8.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.2.1

Faktorisiere $405 {(x + 3)}^{3} (x - 2)$ aus $405 \cdot 2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) + 405 (- 4 {(x - 2)}^{2} {(x + 3)}^{3})$ heraus.

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Schritt 2.8.2.1.1

Faktorisiere $405 {(x + 3)}^{3} (x - 2)$ aus $405 \cdot 2 {(x + 3)}^{4} (x - 2)$ heraus.

$\frac{405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (2 (x + 3)) + 405 (- 4 {(x - 2)}^{2} {(x + 3)}^{3})}{8 {(x + 3)}^{8}}$

Schritt 2.8.2.1.2

Faktorisiere $405 {(x + 3)}^{3} (x - 2)$ aus $405 (- 4 {(x - 2)}^{2} {(x + 3)}^{3})$ heraus.

$\frac{405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (2 (x + 3)) + 405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (- 4 (x - 2))}{8 {(x + 3)}^{8}}$

Schritt 2.8.2.1.3

Faktorisiere $405 {(x + 3)}^{3} (x - 2)$ aus $405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (2 (x + 3)) + 405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (- 4 (x - 2))$ heraus.

$\frac{405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (2 (x + 3) - 4 (x - 2))}{8 {(x + 3)}^{8}}$

Schritt 2.8.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 (x + 3) - 4 (x - 2)$ heraus.

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Schritt 2.8.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 (x - 2)$ heraus.

$\frac{405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (2 (x + 3) + 2 (- 2 (x - 2)))}{8 {(x + 3)}^{8}}$

Schritt 2.8.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 (x + 3) + 2 (- 2 (x - 2))$ heraus.

$\frac{405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (2 (x + 3 - 2 (x - 2)))}{8 {(x + 3)}^{8}}$

Schritt 2.8.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (2 (x + 3 - 2 x - 2 \cdot - 2))}{8 {(x + 3)}^{8}}$

Schritt 2.8.2.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (2 (x + 3 - 2 x + 4))}{8 {(x + 3)}^{8}}$

Schritt 2.8.2.5

Subtrahiere $2 x$ von $x$ .

$\frac{405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (2 (- x + 3 + 4))}{8 {(x + 3)}^{8}}$

Schritt 2.8.2.6

Addiere $3$ und $4$ .

$\frac{405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) \cdot 2 (- x + 7)}{8 {(x + 3)}^{8}}$

Schritt 2.8.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $405$ .

$\frac{810 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (- x + 7)}{8 {(x + 3)}^{8}}$

Schritt 2.8.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.8.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $810$ und $8$ .

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Schritt 2.8.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $810 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (- x + 7)$ heraus.

$\frac{2 (405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (- x + 7))}{8 {(x + 3)}^{8}}$

Schritt 2.8.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.8.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8 {(x + 3)}^{8}$ heraus.

$\frac{2 (405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (- x + 7))}{2 (4 {(x + 3)}^{8})}$

Schritt 2.8.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (- x + 7))}{2 (4 {(x + 3)}^{8})}$

Schritt 2.8.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (- x + 7)}{4 {(x + 3)}^{8}}$

Schritt 2.8.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x + 3)}^{3}$ und ${(x + 3)}^{8}$ .

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Schritt 2.8.3.2.1

Faktorisiere ${(x + 3)}^{3}$ aus $405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (- x + 7)$ heraus.

$\frac{{(x + 3)}^{3} ((405 (x - 2)) (- x + 7))}{4 {(x + 3)}^{8}}$

Schritt 2.8.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.8.3.2.2.1

Faktorisiere ${(x + 3)}^{3}$ aus $4 {(x + 3)}^{8}$ heraus.

$\frac{{(x + 3)}^{3} ((405 (x - 2)) (- x + 7))}{{(x + 3)}^{3} (4 {(x + 3)}^{5})}$

Schritt 2.8.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x + 3)}^{3} ((405 (x - 2)) (- x + 7))}{{(x + 3)}^{3} (4 {(x + 3)}^{5})}$

Schritt 2.8.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(405 (x - 2)) (- x + 7)}{4 {(x + 3)}^{5}}$

$\frac{405 (x - 2) (- x + 7)}{4 {(x + 3)}^{5}}$

Schritt 2.8.4

Stelle die Terme um.

$\frac{405 (- x + 7) (x - 2)}{4 {(x + 3)}^{5}}$

Schritt 2.8.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{405 (- (x) + 7) (x - 2)}{4 {(x + 3)}^{5}}$

Schritt 2.8.6

Schreibe $7$ als $- 1 (- 7)$ um.

$\frac{405 (- (x) - 1 (- 7)) (x - 2)}{4 {(x + 3)}^{5}}$

Schritt 2.8.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 7)$ heraus.

$\frac{405 (- (x - 7)) (x - 2)}{4 {(x + 3)}^{5}}$

Schritt 2.8.8

Schreibe $- (x - 7)$ als $- 1 (x - 7)$ um.

$\frac{405 (- 1 (x - 7)) (x - 2)}{4 {(x + 3)}^{5}}$

Schritt 2.8.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(405 (x - 7)) (x - 2)}{4 {(x + 3)}^{5}}$

Schritt 2.8.10

Stelle die Faktoren in $- \frac{(405 (x - 7)) (x - 2)}{4 {(x + 3)}^{5}}$ um.

$f'' (x) = - \frac{405 (x - 7) (x - 2)}{4 {(x + 3)}^{5}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $- \frac{405}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{405 (x - 7) (x - 2)}{4 {(x + 3)}^{5}}$ nach $x$ gleich $- \frac{405}{4} \frac{d}{d x} [\frac{(x - 7) (x - 2)}{{(x + 3)}^{5}}]$ .

$- \frac{405}{4} \frac{d}{d x} [\frac{(x - 7) (x - 2)}{{(x + 3)}^{5}}]$

Schritt 3.2

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [(x - 7) (x - 2)] - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{({(x + 3)}^{5})}^{2}}$

Schritt 3.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 3)}^{5})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [(x - 7) (x - 2)] - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{5 \cdot 2}}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [(x - 7) (x - 2)] - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x - 7$ und $g (x) = x - 2$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} ((x - 7) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

Schritt 3.5

Differenziere.

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Schritt 3.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} ((x - 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

Schritt 3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} ((x - 7) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

Schritt 3.5.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} ((x - 7) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

Schritt 3.5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} ((x - 7) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

Schritt 3.5.4.2

Mutltipliziere $x - 7$ mit $1$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (x - 7 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

Schritt 3.5.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (x - 7 + (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

Schritt 3.5.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (x - 7 + (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 7])) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

Schritt 3.5.7

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (x - 7 + (x - 2) (1 + 0)) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

Schritt 3.5.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.5.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (x - 7 + (x - 2) \cdot 1) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

Schritt 3.5.8.2

Mutltipliziere $x - 2$ mit $1$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (x - 7 + x - 2) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

Schritt 3.5.8.3

Addiere $x$ und $x$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (2 x - 7 - 2) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

Schritt 3.5.8.4

Subtrahiere $2$ von $- 7$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (2 x - 9) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = x + 3$ .

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Schritt 3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 3$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (2 x - 9) - (x - 7) (x - 2) (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + 3])}{{(x + 3)}^{10}}$

Schritt 3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (2 x - 9) - (x - 7) (x - 2) (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + 3])}{{(x + 3)}^{10}}$

Schritt 3.6.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 3$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (2 x - 9) - (x - 7) (x - 2) (5 {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 3])}{{(x + 3)}^{10}}$

Schritt 3.7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2) ({(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 3])}{{(x + 3)}^{10}}$

Schritt 3.7.2

Faktorisiere ${(x + 3)}^{4}$ aus ${(x + 3)}^{5} (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2) ({(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 3])$ heraus.

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Schritt 3.7.2.1

Faktorisiere ${(x + 3)}^{4}$ aus ${(x + 3)}^{5} (2 x - 9)$ heraus.

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{4} ((x + 3) (2 x - 9)) - 5 (x - 7) (x - 2) ({(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 3])}{{(x + 3)}^{10}}$

Schritt 3.7.2.2

Faktorisiere ${(x + 3)}^{4}$ aus $- 5 (x - 7) (x - 2) ({(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 3])$ heraus.

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{4} ((x + 3) (2 x - 9)) + {(x + 3)}^{4} (- 5 (x - 7) (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 3]))}{{(x + 3)}^{10}}$

Schritt 3.7.2.3

Faktorisiere ${(x + 3)}^{4}$ aus ${(x + 3)}^{4} ((x + 3) (2 x - 9)) + {(x + 3)}^{4} (- 5 (x - 7) (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 3]))$ heraus.

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{4} ((x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 3]))}{{(x + 3)}^{10}}$

Schritt 3.8

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.8.1

Faktorisiere ${(x + 3)}^{4}$ aus ${(x + 3)}^{10}$ heraus.

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{4} ((x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 3]))}{{(x + 3)}^{4} {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{4} ((x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 3]))}{{(x + 3)}^{4} {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.8.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{(x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 3])}{{(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{(x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{(x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.11

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{(x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.12

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.12.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{(x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2) \cdot 1}{{(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.12.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{(x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2)}{{(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.12.3

Mutltipliziere $\frac{(x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2)}{{(x + 3)}^{6}}$ mit $\frac{405}{4}$ .

$- \frac{((x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2)) \cdot 405}{{(x + 3)}^{6} \cdot 4}$

Schritt 3.12.4

Stelle um.

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Schritt 3.12.4.1

Bringe $405$ auf die linke Seite von $(x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2)$ .

$- \frac{405 \cdot ((x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2))}{{(x + 3)}^{6} \cdot 4}$

Schritt 3.12.4.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von ${(x + 3)}^{6}$ .

$- \frac{405 ((x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2))}{4 \cdot {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13

Vereinfache.

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Schritt 3.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{405 ((x + 3) (2 x - 9) + (- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{405 ((x + 3) (2 x - 9)) + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.13.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.13.3.1.1

Multipliziere $(x + 3) (2 x - 9)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.13.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{405 (x (2 x - 9) + 3 (2 x - 9)) + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{405 (x (2 x) + x \cdot - 9 + 3 (2 x - 9)) + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{405 (x (2 x) + x \cdot - 9 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 9) + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.3.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.13.3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.13.3.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{405 (2 x \cdot x + x \cdot - 9 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 9) + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.3.1.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.13.3.1.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$- \frac{405 (2 (x \cdot x) + x \cdot - 9 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 9) + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.3.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- \frac{405 (2 x^{2} + x \cdot - 9 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 9) + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.3.1.2.1.3

Bringe $- 9$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{405 (2 x^{2} - 9 \cdot x + 3 (2 x) + 3 \cdot - 9) + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.3.1.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{405 (2 x^{2} - 9 x + 6 x + 3 \cdot - 9) + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.3.1.2.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 9$ .

$- \frac{405 (2 x^{2} - 9 x + 6 x - 27) + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.3.1.2.2

Addiere $- 9 x$ und $6 x$ .

$- \frac{405 (2 x^{2} - 3 x - 27) + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{405 (2 x^{2}) + 405 (- 3 x) + 405 \cdot - 27 + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.3.1.4

Vereinfache.

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Schritt 3.13.3.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $405$ .

$- \frac{810 x^{2} + 405 (- 3 x) + 405 \cdot - 27 + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.3.1.4.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $405$ .

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x + 405 \cdot - 27 + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.3.1.4.3

Mutltipliziere $405$ mit $- 27$ .

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.3.1.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 7$ .

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 + 405 ((- 5 x + 35) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.3.1.6

Multipliziere $(- 5 x + 35) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.13.3.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 + 405 (- 5 x (x - 2) + 35 (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.3.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 + 405 (- 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 2 + 35 (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.3.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 + 405 (- 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 2 + 35 x + 35 \cdot - 2)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.3.1.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.13.3.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.13.3.1.7.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.13.3.1.7.1.1.1

Bewege $x$ .

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 + 405 (- 5 (x \cdot x) - 5 x \cdot - 2 + 35 x + 35 \cdot - 2)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.3.1.7.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 + 405 (- 5 x^{2} - 5 x \cdot - 2 + 35 x + 35 \cdot - 2)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.3.1.7.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 5$ .

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 + 405 (- 5 x^{2} + 10 x + 35 x + 35 \cdot - 2)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.3.1.7.1.3

Mutltipliziere $35$ mit $- 2$ .

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 + 405 (- 5 x^{2} + 10 x + 35 x - 70)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.3.1.7.2

Addiere $10 x$ und $35 x$ .

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 + 405 (- 5 x^{2} + 45 x - 70)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.3.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 + 405 (- 5 x^{2}) + 405 (45 x) + 405 \cdot - 70}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.3.1.9

Vereinfache.

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Schritt 3.13.3.1.9.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $405$ .

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 - 2025 x^{2} + 405 (45 x) + 405 \cdot - 70}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.3.1.9.2

Mutltipliziere $45$ mit $405$ .

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 - 2025 x^{2} + 18225 x + 405 \cdot - 70}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.3.1.9.3

Mutltipliziere $405$ mit $- 70$ .

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 - 2025 x^{2} + 18225 x - 28350}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.3.2

Subtrahiere $2025 x^{2}$ von $810 x^{2}$ .

$- \frac{- 1215 x^{2} - 1215 x - 10935 + 18225 x - 28350}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.3.3

Addiere $- 1215 x$ und $18225 x$ .

$- \frac{- 1215 x^{2} + 17010 x - 10935 - 28350}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.3.4

Subtrahiere $28350$ von $- 10935$ .

$- \frac{- 1215 x^{2} + 17010 x - 39285}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.4

Faktorisiere $405$ aus $- 1215 x^{2} + 17010 x - 39285$ heraus.

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Schritt 3.13.4.1

Faktorisiere $405$ aus $- 1215 x^{2}$ heraus.

$- \frac{405 (- 3 x^{2}) + 17010 x - 39285}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.4.2

Faktorisiere $405$ aus $17010 x$ heraus.

$- \frac{405 (- 3 x^{2}) + 405 (42 x) - 39285}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.4.3

Faktorisiere $405$ aus $- 39285$ heraus.

$- \frac{405 (- 3 x^{2}) + 405 (42 x) + 405 (- 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.4.4

Faktorisiere $405$ aus $405 (- 3 x^{2}) + 405 (42 x)$ heraus.

$- \frac{405 (- 3 x^{2} + 42 x) + 405 (- 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.4.5

Faktorisiere $405$ aus $405 (- 3 x^{2} + 42 x) + 405 (- 97)$ heraus.

$- \frac{405 (- 3 x^{2} + 42 x - 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$- \frac{405 (- (3 x^{2}) + 42 x - 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.6

Faktorisiere $- 1$ aus $42 x$ heraus.

$- \frac{405 (- (3 x^{2}) - (- 42 x) - 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - (- 42 x)$ heraus.

$- \frac{405 (- (3 x^{2} - 42 x) - 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.8

Schreibe $- 97$ als $- 1 (97)$ um.

$- \frac{405 (- (3 x^{2} - 42 x) - 1 (97))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2} - 42 x) - 1 (97)$ heraus.

$- \frac{405 (- (3 x^{2} - 42 x + 97))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.10

Schreibe $- (3 x^{2} - 42 x + 97)$ als $- 1 (3 x^{2} - 42 x + 97)$ um.

$- \frac{405 (- 1 (3 x^{2} - 42 x + 97))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{405 (3 x^{2} - 42 x + 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{405 (3 x^{2} - 42 x + 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 3.13.13

Mutltipliziere $\frac{405 (3 x^{2} - 42 x + 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$ mit $1$ .

$f''' (x) = \frac{405 (3 x^{2} - 42 x + 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Schritt 4

Die dritte Ableitung von $s (x)$ nach $x$ ist $\frac{405 (3 x^{2} - 42 x + 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$ .

$\frac{405 (3 x^{2} - 42 x + 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$